湖南省娄底市古楼中学2022年高一数学理期末试卷含解析

湖南省娄底市古楼中学2022年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.定义运算，如.已知，，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知数列{an}满足a1=0，an+1=（n∈N*），则a20=（）A．0 B． C． D．参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】经过不完全归纳，得出，…发现此数列以3为周期的周期数列，根据周期可以求出a20的值．【解答】解；由题意知：∵∴…故此数列的周期为3．所以a20=．故选B【点评】本题主要考查学生的应变能力和不完全归纳法，可能大部分人都想直接求数列的通项公式，然后求解，但是此方法不通，很难入手．属于易错题型．4.对于函数，给出下列四个结论：①函数f(x)的最小正周期为2π；

②函数f(x)在上的值域是；③函数在上是减函数；

④函数f(x)的图象关于点对称．其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】依题意，利用三角函数中的诱导公式可得，由正弦函数的性质可对①②③④逐个判断，得到答案。【详解】由诱导公式可得：，，可排除①；若，则，，故函数在上的值域是，可排除②，令，即，函数在上单调递减，当时，函数在上是减函数，所以③正确；令，则，函数的对称中心为，当时，函数的图象关于点对称，故④正确；故答案选B【点睛】本题主要考查诱导公式，正弦函数的周期性、单调性、对称性、定义域与值域，考查学生分析、运算能力，属于中档题。5.如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】三角函数的化简求值． 【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限． 【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限， ∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0， ∴sinθ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D． 【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题． 6.设，集合，则

（

）A．1

B．

C．2

D．

参考答案：C7.要得到y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象至少向左平移（）个单位．

A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知集合下列角中，终边在y轴非正半轴上的是（）A． B． C．π D．参考答案：D【考点】G1：任意角的概念．【分析】直接写出终边落在y轴非正半轴上的角的集合得答案．【解答】解：终边落在y轴非正半轴上的角的集合为A={α|α=+2kπ}，取k=0，得α=．故选：D．9.已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合B中的元素都在集合A中．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴B?A．故选B．10.cos（﹣960°）=（）A． B．C．D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：cos（﹣960°）=cos960°=cos=cos240°=cos=﹣cos60°=﹣．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若角θ满足sinθ?cosθ＜0，则角θ在第象限．参考答案：二或四考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：根据条件判断出sinθ和cosθ异号，根据三角函数的符号判断出θ所在的象限．解答：解：∵sinθ?cosθ＜0，∴或，则θ在第二或四象限，故答案为：二或四．点评：本题考查了三角函数的符号的判断，即一全正、二正弦、三正切、四余弦，要熟练掌握．12.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．参考答案：略13.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则

.（填“”、“”或“＝”）.参考答案：<14.sin42°cos18°﹣cos138°cos72°=

．参考答案：【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】把所求式子中的第二项第一个因式中的138°变为，第二个因式中的角72°变为（90°﹣18°），利用诱导公式cos（90°﹣α）=sinα化简，然后将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．【解答】解：sin42°cos18°﹣cos138°cos72°=sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin（42°+18°）=sin60°=，故答案是：．15.集合A=｛(x,y)｜x2+y2=4｝，B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__

____.参考答案：3或7略16.四棱锥的三视图如右图所示，则此四棱锥的内切球半径为

.

参考答案：略17.两个不重合的平面可以把空间分成________部分.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点。（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论。（2）若AB=BC=，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值。参考答案：解：（１）

连结交于，则为中点，连结

∵为的中点

∴

∵,

∴

2）∵

∴异面直线所成的角为

∵,

∴

,

因此，异面直线所成的角的余弦值为。

19.（14分）已知函数f（x）=2x+2﹣x，（1）判断函数的奇偶性；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；（3）若f（x）=5?2﹣x+3，求x的值．参考答案：考点： 函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用．分析： （1）先求f（x）的定义域，再判断f（﹣x）与f（x）的关系即可；（2）先设x1，x2是（0，+∞）任意的两个数且x1＜x2，从而作差化简=，从而判号即可；（3）由题意可知，2x+2﹣x=5?2﹣x+3，利用换元法令2x=t，（t＞0），从而得到，从而解出t，再求x．解答： （1）f（x）=2x+2﹣x的定义域为R，关于原点对称；又f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），∴f（x）为偶函数．（2）证明：设x1，x2是（0，+∞）任意的两个数且x1＜x2，则==，∵0＜x1＜x2，y=2x是增函数，∴；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（3）由题意可知，2x+2﹣x=5?2﹣x+3令2x=t，（t＞0），则．解得t=﹣1（舍去）或者t=4．即2x=4，∴x=2．点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断及方程的求解，属于中档题．20.（本小题满分12分）函数f(x)＝为R上的奇函数，且.（1）求a,b的值.（2）证明f(x)在（-1，1）上为增函数参考答案：（1）∵f(x)=为R上的奇函数

∴f(0)=b=0

.∵f()=

∴a=1

(2)任取x1,x2,.使-1＜x1＜x2＜1,则f(x2)-f(x1)=∵x1＜x2∴x1-x2＜0∵

-1＜x1＜x2＜1

∴x1x2-1＜0又∵（x22+1）(x12+1)＞0

∴f(x2)-f(x1)＞0

∴f(x2)＞f(x1)∴f(x)在（-1,1）上为增函数21.已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．解答： （1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；

（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；

…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t?4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t﹣4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；

综上：1＜t＜．点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．22.（16分）已知a＜0，函数f（x）=acosx++，其中x∈[﹣，]．（1）设t=+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）若对区间[﹣，]内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）令+=t，换元可得；（2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得；（3）问题转化为gmax（t）﹣gmin（t）≤1对成立，分类讨论可得．解答： （1）∵，又∵，∴cosx≥0，从而t2=2+2cosx，∴t2∈[2，4]．又∵t＞0，∴，∵，∴，（2）求函数f（x）的最大值即求，的最大值．，对称轴为．当，即时，；当，即时，；当，即时，gmax（t）=g（2）=a+2；综上可得，当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的