上海民办立达中学(东部校区)高二数学理上学期期末试卷含解析

上海民办立达中学(东部校区)高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中错误的是A.如果，那么α内一定存在直线平行于平面β；B.如果，那么α内所有直线都垂直于平面β；C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果,那么.参考答案：B2.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（

）A．

B．3

C．

D．参考答案：A3.函数（）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为，则函数图象的一条对称轴的方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D

4.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(

)A.x-2y-1=0

B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0

D.x+2y-1=0参考答案：A略5.已知函数，则f（2）=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】求出函数的导数，求出f′（2）的值，从而求出f（x）的解析式，求出f（2）的值即可．【解答】解：∵f′（x）=3f′（2）x2﹣，∴f′（2）=12f′（2）﹣，解得：f′（2）=，故f（x）=x3+，故f（2）=，故选：C．6.已知对任意,函数的值恒大于零，则a的取值范围为(

)A． (－∞,1)

B．(－∞,0)

C． (－2,1)

D．(－2,0)参考答案：A函数的对称轴为①当，即时,的值恒大于0等价于,解得,

不存在符合条件的;

②当,即时,只要,即,不存在符合条件的;

③当,即时,只要,即,

综上可知,当时,对任意,函数的值恒大于0。7.函数的图象的一部分如图所示，则、的值分别是

（

）（A）1,

（B）1，（C）2,

（D）2,参考答案：C略8.等比数列{an}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{an}的公比q为（）A．2 B． C．± D．±2参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a3，再由等比数列的通项公式可得q．【解答】解：∵等比数列{an}中各项均为正数，且a1a5=4，a4=1，∴a32=a1a5=4，解得a3=2，∴公比q==，故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．9.已知等差数列的前项和为18，若，,则的值为()A．9

B．21

C．27

D．36参考答案：C10.右图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列……的前100项的和等于

。

参考答案：略12.等比数列中，已知对任意正整数，…，则…等于____________.参考答案：略13.=_______________.参考答案：略14.a＞1，则的最小值是．参考答案：3【分析】根据a＞1可将a﹣1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0=a﹣1++1≥2+1=3当a=2时取到等号，故答案为3【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础题．15.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据题，过取BC的中点E，连接C1E，AE，证明AE⊥面BB1C1C，故∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，解直角三角形AC1E即可．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，sin∠AC1E=．故答案为：．16.命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是．参考答案：?x∈R，sinx＞1【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时?对应?，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是：?x∈R，sinx＞1．故答案为：?x∈R，sinx＞1．【点评】本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．17.沿矩形的对角线折起，形成空间四边形，使得二面角为，若，则此时四面体的外接球的体积为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；

②与x轴相切；

③被直线y=x+2截得的线段长为（1）求圆C的方程；（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时的值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r，利用条件建立方程组，即可求圆C的方程；（2）四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，从而可求的值．【解答】解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r．则有，解得…∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|?r=r=∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，…即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3．∴|PC|最小为∴四边形PEMF的面积S的最小值为…此时||=||=，设∠CPE=∠CPF=α，则…∴=||2cos2α=||2（1﹣2sin2α）=…19.已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．参考答案：【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）当a=1时，…可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减…∴g（x）max=g（1）=1．…20.已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．参考答案：解：若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的负根，则解得m＞2，即p：m＞2

............3分若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.

...........6分因p或q为真，所以p，q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．

...........8分∴或

...........10分解得m≥3或1＜m≤2.

...............12分略21.如图，已知等腰直角三角形，其中∠=90o，．点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．（1）求证：⊥；（2）求二面角的平面角的余弦值．参考答案：解：（1）∵点A、D分别是、的中点，∴.

∴∠=90o.

∴.∴,

------------2分∵,∴⊥平面.

-------------------------4分

∵平面,

∴.

-----6分（2）法1：取的中点，连结、．∵,

∴.

∵,

∴平面.∵平面,

∴.

∵

∴平面.∵平面,

∴.∴∠是二面角的平面角.

------------------10分在Rt△中,，在Rt△中,，.

--------------13分∴二面角的平面角的余弦值是.

---------------14分略22.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）欲证AE⊥平面BCE，由题设条件知可先证BF⊥AE，CB⊥AE，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值，需要先作角，连接BD交AC交于G，连接FG，可证得∠BGF是二面B﹣AC﹣E的平面角，在△BFG中求解即可；（Ⅲ）由题设，利用由VD﹣ACE=VE﹣ACD，求点D到平面ACE的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角．且CB⊥AB．∴CB⊥平面ABE∴CB⊥AE∵BF∩CB=B∴AE⊥平面BCE（Ⅱ）连接BD交AC交于G，连接FG∵正方形ABCD边长为2．∴BG⊥AC，BG=∵BF⊥平面ACE．由