一元二次方程概念会将

一元二次方程-一元二次方程-板块一ax2bxc0(a0abc③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2bxc0a0x的方程ax2bxc0，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0时，关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2【例1】关于x的方程(a21)x22ax60是一元二次方程，则a的取值范围是 a

a

a为任何实 x的方程(a2)x2axx21是一元二次方程，求a【例2x2ab3xab10x的一元二次方程，求a、b【巩固】已知方程2xabxabab0x的一元二次方程，求a、b☞一元二次方【例3m是方程3x22x203m2m12【巩固】若两个方程x2axb0和x2bxa0只有一个公共根，则 a

ab

ab

ab☞【例4】已知a是方程x23x10的一个根，则代数式a310a2的值 【巩固】已知m是方程x22006x10的一个根，试求m22005m

2006m2板块二⑴直接开平方法：适用于解形如(xa)2b(b0⑵配方法：解形如ax2bxc0(a0的一元二次方程，①④化成(xm)2n⑤若n0⑶法1设一元二次方程为ax2bxc0a0b24acxx1bb2⑴0方程ax2bxc0abb2⑵0方程ax2bxc0a0x

b⑶0方程ax2bxc0a0

若a、b、c为有理数，且若为完全平方式，同时bb24ac是2a运用法解一元二次方程的一般步骤是②确定a、b、c③计算b24ac④若b24ac0，则代入求方程的根⑤若b24ac0⑷因式分解法：适用于右边为0（或可化为0⑶直接开平方法：用于缺少一次项以及形如ax2b或xa2bb0axb2cxd2次方程的一般形式ax2bxc0（a、b、ca0）Ax2B，这 b2

b2 b 4acax2bxcax2 x c

ax 4a2

4a 2a 所以方

（、

）就转化为

b

4acb2 b

b2

a

ax 即x

【例5x2x323xx26x95⑴x26x4

⑵(y1)(y3)5

⑶x21x1 ⑷2y24y ⑸2x23x54⑴2x23x1

⑵3x26x⑶x(6x1)4x32(2x2

⑷3x2

2x2解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等，降次（【例8x(4x1)23(14x4

2(x21)6(x1)7x x272x23x22x23x

3【例11x的方程a1x22xa10的根都是整数，那么符合条件的整数a板块三☞

b2b24ac，显然只有当2 时，才能直接x

b2也就是说，一元二次方程ax2bxc0(a0只有当系数a、b、c满足条件b24ac0时才有实数根．这里b2在实数范围内，一元二次方程ax2bxc0(a0的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由b24ac确定．bb2设一元二次方程为ax2bxc0(a0bb20方程

bxc0(a0)有两个不相等的实数根x1,2 0方程ax2bxc0(a0xxb 0方程ax2bxc0(a0【例12】不解方程，判别一元二次方程2x26x1的根的情况是 【巩固】若方程(m2)x22(m1)xm0只有一个实数根，那么方程(m1)x22mxm20 B．有2个不同的实数C．有2个相等的实数 【例13】如果关于x的一元二次方程kx26x90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 A．k

B．k

D．kx的二次方程(m1)x22mxm20m【例14x的一元二次方程(12k)x22k1x10有两个不相等的实数根，求k【例15mx的方程(m24)x22(m1)x102【例16xx2abx1b22b10有两个相等的实数根，且a、b23a2b 【例17】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是5x22x30【例18abx221ax3a24ab4b220【例19】已知实数a、b、c、rppr2pc2bra0，求证：一元二次方程ax22bxc板块四定理如果ax2bxc0(a0xxx

bxxc（0

1 1xxx2pxq0 x1x2p，x1x2q二 xx为根的一元二次方程（1）x2xx)xxx0 1xxx

bxxcxx必定是ax2bxc0(a

1 在b24ac0c0时，方程的两根必一正一负．若b0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若b0 c0时，方程的两根同正或同负．若b0，则此方程的两根均为正根；若b0 xxax2bxc0(a0的两根（xx，且m为实数，当0 ①(x1m)(x2m)0x1m，x2②(x1m)(x2m0且(x1mx2m0x1mx2③(x1m)(x2m0且(x1mx2m0x1mx2特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0⑴若有理系数一元二次方程有一根a

b，则必有一根a

b（ab为有理数⑵若ac0，则方程ax2bxc0(a0⑶若ac0ax2bxc0(a0⑷若abc0ax2bxc0(a0x1⑸若abc0ax2bxc0(a0x1⑹利用定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用【例20】设方程4x27x30xx ⑴(x3)(x3) ⑵ ⑶x x x 【例21】已知x25x20

【例22x2px10的一个根为1

2，则它的另一根等 ，p等【例23xxx22k1xk220的两个不同的实根，且x1x18，则k 是x2y22x【例24】已知方程组kxyk

（xy为未知数②⑴求证：不论k⑵设方程组的两个不同的实数解为xx1和xy y (xx)2y 【例25xx22mx3m0xx且(xx)216x x22mx6m90xx之间，求m 对于一元二次方程ax2bxc0(a0的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于一如果一元二次方程ax2bxc0(a0⑴b24acb2b2

2ak或b

2akkb2b2另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数☞方程ax2bxc0（a0a、b、c均为有理数）的根为有理数的条件是：【例26x1x2mxk1)mk23k10有有理根，求k 【例27】已知12m40xx22(m1)xm20有两个整数根，求整数mx2m2)x4m0m的值及此直角【巩固】已知axx3a17)x238a)x560a的值及【例28x的方程6k9kx211715kx540k 个【巩固】若k为正整数，且关于k的方程(k21)x26(3k1)x720有两个相异正整数根，求k【例29xx2a6)xa0的两根都是整数，求axx2a6)xa0的两根都是整数，求a【例30m为何整数时，方程2x25mx2m25【例31】两个农妇一共带100个鸡蛋上市场，两人带蛋数不同，但是卖得钱数一样，于是，第一个农妇对果换给我，我就只能卖得623【例323倍，女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，让全体女工去做需36天才能完成，问男、交10A度，则这个月除了仍要交10

A⑴该厂某户居民2月份用电90度，超过规定的A度，则超过部分应交电费 元（用A表⑵下表是这户居民3月份、434【例35A、B两地到CA地到C地需3B地到C地需2小时40A、CACBCABAB两地之间距离d单价a1m1a2m2（元/千克）m1，一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5合后再，单价为17.5元/千克，问这箱糖果有甲种多少千克【例37】某商场2002年的营业额比2001年上升10%，2 年比2002年又上升10%，而2004年和2005年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（ A.降低了 B.没有变 C.上升了 D.降低了【例38】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．⑵若商场经营该商品一天要获利润2160【例39】如图所示，在一个长为40米，宽为26ABCD上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是144平方米，则道路宽为多少？【例40】如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两x 【例41】如图，有长为24米的，一面用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间有一道的长⑴如果花圃的面积为42AB⑶花圃的面积能围成48ABaaADBC脑？若得不到有效控制，3轮后，被电脑会不会超过700台？的总数是91，每个支干长出多少小分支？【例43】如图，ABC中，B90，AB6cm，BC8cmPAABB以1cm/sQBBC边向点C以2cm/s（点Q到达点C运动停止PQAB同时出发t秒（t0）tPQ6cmt为何值时，可使得PBQ的面积等于8cm2CQ 已知mnx23x10的两根，那么代数式2m24n26n1999在斜边为10RtABCC90a、bx2mx3m60的两个根，求m的xx22(a1)xb2)20⑴求a1998b3⑵求作以a、b是否存在常数k，使关于x的方程4x2(3k5)x6k20的两个实数根x、x，满 3 存在，试求出所有满足条件的k将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入儿童银行，到期后取出50元用来学习用品，剩下的50共66设方程mx2m2)xm30有整数解，试确定整数m如图所示，某位于A处，在其方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标小岛CDACAB到CD出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里北A北D东D 若方程ax2bxc0(a0的一个根是另一个根的3倍，则a、b、c的关系是3b2