湖北省武汉市洪山区武汉西藏中学2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题

武汉西藏中学2022-2023学年第二学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共12题，共60分）（5分）若a+b+cb+c−a=3bc，且sinA=2sinB A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形（5分）向量a=−4,5，b=λ,1，若a∥ A．−45 B．−43 C．−5（5分）高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为   A．168 B．175 C．172 D．176（5分）已知e1，e2是平面内两个夹角为2π3的单位向量，设m，n为同一平面内的两个向量，若m=e1 A．12 B．32 C．3−12（5分）已知i为虚数单位，复数z=2+i1+ai，a∈R，若z∈ A．12 B．−12 C．2 （5分）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为13，都是白子的概率为215，则取出的2粒颜色不同的概率为 A．15 B．13 C．715 （5分）已知向量m=2λ,−1，n=2,λ−5且m+2 A．−53 B．−32 C．1（5分）在△ABC中，A=60∘，AB=2，且△ABC的面积为32，则BC A．32 B．2 C．23 D．（5分）某企业有职工150人，其中高级职称有15人，中级职称有45人，一般职员有90人，现抽取30人，进行分层抽样，则各职称人数分别为   A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16（5分）如图，O是△ABC的重心，AB=a，AC=b，D是边BC上一点，且 A．OD=−112a+ C．OD=−112a−（5分）已知i是虚数单位，设复数z=i2021+1，则z A．1 B．−1 C．i D．−i（5分）若a，b均为非零向量，则“a⋅b=ab”是“a A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题（共4题，共20分）（5分）i是虚数单位，复数2−i1+2i（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面积为．（5分）某高中各年级男、女生人数统计如表：年级人数性别高一高二高三男生592563520（5分）在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2=acosB+bcosA，三、解答题（共6题，共70分）（10分）已知复数z=a−ia∈R(1)求复数z及∣z∣；(2)在复平面内，若复数z−mi2m∈（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2b−ccos(1)求角A；(2)若a=13，b+c=5，求△ABC（12分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13，0.28，0.31．(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；(2)求射击一次，至少命中8环的概率；(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．（12分）在四棱锥Р−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB(1)证明：AE⊥PC；(2)连接DE，求DE与底面ABCD所成角的正切值；(3)求二面角E−CD−A的平面角的正切值．（12分）已知复数α=2−i，β=m−i，(1)若∣α+β∣<2∣α∣，求实数(2)若β是关于x的方程2x2−nx+20=0n∈R（12分）某企业生产一种产品，质量测试分为：指标不小于90为一等品，不小于80小于90为二等品，小于80为三等品，每件一等品盈利50元，每件二等品盈利30元，每件三等品亏损10元．现对学徒工甲和正式工人乙生产的产品各100件的检测结果统计如表，根据如表统计得到甲、乙生产产品等级的频率分别估计为他们生产产品等级的概率．测试指标(1)求出甲生产三等品的概率；(2)求出乙生产一件产品，盈利不小于30元的概率；(3)若甲、乙一天生产产品分别为30件和40件，估计甲、乙两人一天共为企业创收多少元？

答案一、选择题（共12题，共60分）1.【答案】B【解析】因为a+b+cb+c−a所以b+c+a所以b+c2−ab2−bc+c所以b2−bc+ccosA=所以A=60又由sinA=2sinBcosC化简可得，b2=c所以△ABC是等边三角形，故选：B．2.【答案】A【解析】由a∥b得−4×1−5×λ=03.【答案】B【解析】将7人的身高从低到高排列：168，170，172，172，175，176，180，因为7×60%=4.2．所以第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为175．故答案为：B．4.【答案】B【解析】由条件e1，e2是平面内两个夹角为2π3的单位向量，不妨设则m=e1由∣n−e所以点x,y在圆C:x−1又∣m−n∣=x−12所以∣m故答案为：B．5.【答案】B【解析】z=2+因为z∈R所以1+2a=0，解得：a=−16.【答案】D【解析】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为13取出的2粒颜色不同的概率为1−77.【答案】A【解析】由题意m+2m−2又m+2所以8λ解得λ=−58.【答案】D【解析】由题意S△ABC所以AC=1，由余弦定理是BCBC=3故答案为：D．9.【答案】B【解析】因为30150=1所以高级职称应抽取15×1中级职称应抽取45×1一般职员应抽取90×110.【答案】A【解析】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且AO=2OE，由BD=3DC，得：D是则OD=11.【答案】A【解析】由题意得z=i2021+1=i+1，所以12.【答案】A【解析】当a⋅又a⋅所以cosθ=1，则θ=故a，b共线且同向，所以充分性成立；当a，b共线但反向时，a⋅所以必要性不成立，所以A正确．故答案：A．二、填空题（共4题，共20分）13.【答案】i【解析】因为2−i1+2i=2−14.【答案】8+3【解析】（1）由三视图可知，几何体是四棱锥，如图所示，底面ABCD是正方形，△PAB是正方形，且平面PAB⊥点P到平面ABCD的距离d=2×3所以VP−ABCD（2）△ADP和△PBC是直角边为2的等腰直角三角形，S△ADP△PDC是等腰三角形，PD=PC=22，DC=2所以DC边上的高ℎ=2所以四棱锥的表面积S=2×2+115.【答案】480【解析】根据题意，由分层抽样方法得80592+528+563+517+520+a解得a=480．16.【答案】7【解析】在△ABC中，因为c2所以由余弦定理得：c2所以c=1或c=0（舍），又a=b=3，所以△ABC的周长为3+3+1=7．三、解答题（共6题，共70分）17.【答案】(1)因为z=a−ia∈R所以a−i则a+1=0,a−1≠0,即a=−1．所以z=−1+i，∣z∣=(2)z−mi由题意可得1−m+1解得m>0．所以实数m的取值范围是0,+∞．18.【答案】(1)在三角形ABC中，因为2b−ccos由正弦定理得：2sin化为：2sin三角形中sinB≠0，解得cosA=1所以A=π(2)由余弦定理得a2因为a=13，b+c=5所以13=b+c化为bc=4，所以三角形ABC的面积S=119.【答案】(1)设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai（0≤i≤10，且i∈N），且由题意得PA10=0.13，P记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么PA(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么PB(3)“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，所以PC20.【答案】(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，所以BC⊥平面因为AE⊂平面所以BC⊥AE．因为E为PB的中点，PA=AB，所以AE⊥PB．又因为BC∩PB=B，所以AE⊥平面因为PC⊂平面所以AE⊥PC．(2)作EF⊥AB于点F，则F是AB的中点，EF∥PA，且所以EF⊥底面连接DF，则∠EDF为DE与底面ABCD所成的角．设PA=AB=a，在Rt△EFD中，EF=12a所以tan∠EDF=(3)作FG⊥CD，垂足为G，则G为CD的中点，连接EG，则CD⊥EG，所以∠EGF为所求二面角的平面角．在Rt△EFG中，EF=12a，FG=a21.【答案】(1)m+22+4<2(2)方程得两根为β，β，由韦达定理得2m=n2,m222.【答案】(1)依题意，甲生产三等品，即为测试指