湖南省常德市桃源县凌津滩乡中学高三数学理联考试题含解析

湖南省常德市桃源县凌津滩乡中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列中，,则A.5

B.8

C.10

D.14参考答案：B将条件全部化成:,解得,于是.2.复数对应的点所在象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 参考答案：D3.样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m．若该样本的平均值为l，则其样本方差为 A．

B．

C． D．2参考答案：D4.已知数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+an2=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣11，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=2．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，∴an=，∴=．则n≥2时，a12+a22+…+=4+4×=．故选：B．5.定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.设满足

则

（

）A．有最小值2，最大值3

B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值

D．既无最小值，也无最大值

参考答案：B略7.设，变量,满足约束条件，则的最大值为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：A8.已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C． D．参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．9.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为

（

）A.1

B.

2

C.3

D.4参考答案：C略10.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为

．参考答案：12.已知过点且斜率为k的直线与圆相交于P、Q两点，则的值为参考答案：【知识点】直线与圆相交的性质．N17

解析：：圆心C（3，2），半径R=1，

设切线交圆于B，

则由切线长定理得，

∵，∴，

故答案为：7【思路点拨】根据切线长定理即可得到结论．13.函数为奇函数，则增区间为________。参考答案：及；14.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为

．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．15.已知数列的前项和为，且，则______________.参考答案：16.设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为

参考答案：17.，，，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）

已知抛物线的准线为，焦点为F，圆M的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O作倾斜角为的直线，交于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2.

（1）求圆M和抛物线C的方程；

（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；

（3）过上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.

参考答案：解：（1）即p=2

……2分设圆M的半径为r，则所以圆Ｍ的方程为：……５分（２）设Ｐ（x,y）(x0)，则

=

…………8分

所以当x=0时有最小值为2

…………10分（3）以点Q为圆心，QS为半径作圆Q,则ST即为圆O与圆Q的公共弦

…………11分设Q（-1，t）则QS2=QM2—4=t2,所以圆Q的方程为从而直线QS的方程为3x—ty—2=0

……13分因为一定是上述方程的解，所以直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为

……15分19.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，证明函数在R上是增函数；（Ⅱ）若时，当时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）当时，，的的定义域为R……2分当时，所以，当时，所以，所以对任意实数，，所以在R上是增函数；

…………4分（II）当时，恒成立，即恒成立…5分设，则，…………6分令，解得，（1）当，即时，极大值极小值

所以要使结论成立，则，，即，解得，所以；

…8分（2）当，即时，恒成立，所以是增函数，又，故结论成立；

…9分（3）当，即时，极大值极小值

所以要使结论成立，则，，即，解得，所以；

…11分综上所述，若，当时，恒成立，实数的取值范围是．

…12分

略20.已知的定义域为(-2,2),函数.（1）求的定义域;（2）若为奇函数且为单减函数,解不等式的解.参考答案：略21.（本小题共13分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50

（Ⅰ）抽查的人中，每天平均学习时间为~小时的人数有多少?（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于小时的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的名学生中随机选取人进行访谈，求这名学生来自不同年级的概率．参考答案：(Ⅰ)由直方图知，学习时间为~小时的频率为，所以学习时间为~小时的人数为．……………4分(Ⅱ)由直方图可得，学习时间不少于小时的学生有人．（由人数统计表亦可直接得出36人）由人数统计表知，高中三个年级的人数之比为，所以从高中三个年级依次抽取名学生，名学生，名学生．

…8分（Ⅲ）设高一的名学生为，高二的名学生为，高三的名学生为．则从名学生中选取人所有可能的情形为（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共15种可能．………10分其中（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），这种情形符合名学生来自不同年级的要求．…12分故所求概率为．…………………13分22.(本小题满分12分)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)是否存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，最小值为g(x)=g(1)＝1.（2）(2)g()＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0<x<1时，h(x