福建省南平市建瓯小桥中学2021年高三数学理联考试题含解析

福建省南平市建瓯小桥中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

参考答案：B绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值.在点处取得最大值.本题选择B选项.

2.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（

）A. B.C. D.参考答案：D略3.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】等可能事件；排列、组合及简单计数问题．【专题】压轴题．【分析】从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数共有A103﹣A92=648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，分组以后，分类讨论得到不能被3整除的数字个数．【解答】解：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除．所有的三位数有A103﹣A92=648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33=12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32=18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31?C31?C31?A33=162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31?C31?2?A22=36个，这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为=，故选B．【点评】本题分类有点麻烦，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以借助于组合数列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是被三整除的数字特点．4.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（

）A． B． C． D．参考答案：B6.执行如图的程序框图后，输出的S=27，则判断框内的条件应为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥β且l1∥α

B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β

D．m∥β且n∥l2参考答案：B略8.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝-2x上，则sin2θ＝()A．－

B．

C．－或

D．参考答案：A9.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.10.已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值，则判断框内的条件是A． B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数且，则a=

．参考答案：3由题意得，当时，令，解得（不合题意，舍去）；当时，令，解得，适合题意，故.

12.在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“”表示．设．（1）若使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围是

．

（2）若使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是

．参考答案：（1）[3，＋∞)

（2）13.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为sin－cos

=3，则Cl与C2交点在直角坐标系中的坐标为

。参考答案：略14.已知函数的图象经过点A，则不等式的解集为

参考答案：略15.已知为的外心，.若,则＝

参考答案：3略16.已知向量，|b|=1.则函数的最大值为_______参考答案：284略17.设n是正整数，且满足，则n=

．参考答案：213三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：（1）众数：8.6；

中位数：8.75；……………2分（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则；

…6分（3）的可能取值为0，1，2，3.

；；；……..……………..10分所以的分布列为：.

………..……….…12分另解：的可能取值为0，1，2，3.则，.所以=．

19.设数列的前n项和为，为等比数列，且.求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和。参考答案：解：(1)，又，.，又为等比数列，公比q=，.(2)由（1）得，则，从而.所以：所以：.略20.（本小题满分14分）如图，长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点是线段上一点，且．（Ⅰ）求点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交轨迹于两点．试问在轴上是否存在定点，使平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：

21.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．附注：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②参考数据：，，，，．（Ⅰ）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A，试估计A的概率；（Ⅱ）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x（单位：年）表示二手车的使用时间，y（单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程，相关数据如下表（表中，）：5.58.71.9301.479.75385

①根据回归方程类型及表中数据，建立y关于x的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内（含8年）的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上（不含8年）的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．参考答案：（Ⅰ）0.40（Ⅱ）①，②0.29万元【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求得该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在与的频率，作和估计的概率；（Ⅱ）①由得，，即关于的线性回归方程为

．分别求得与的值，则关于的线性回归方程可求，进一步得到关于的回归方程；②根据①中求出的回归方程和图1，对成交的二手车在不同区间逐一预测，即可求得该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金．【详解】解：（Ⅰ）由题得，二手车使用时间在的频率为，在的频率为，

∴；（Ⅱ）①由题得，，即关于的线性回归方程为．∵，，∴关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为；②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.2；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.36；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.28；使用时间在平均成交价格为，对应的频率为0.12；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.04．∴该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元．【点睛】本题考查回归方程的求法，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．22.已知函数，曲线在点处的切线方程为(1)求a，b的值；(2)证明:.参考答案：（1）解：，由题意有，解得

┄┄┄┄┄┄4分（2）证明：（方法一）由（1）知，.设则只需证明，设则，在上单调递增，，使得

┄┄┄┄┄┄7分且当时，，当时，当时，，单调递减当时，，单调递增

┄┄┄┄┄┄8分，由，得，，

┄┄┄┄┄┄10分

设，，当时，，在单调递减，，因此