湖南省永州市荷池中学高二数学理联考试题含解析

湖南省永州市荷池中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式的解集是()A．{x|x≥2}

B．{x|x≤2}

C．{x|0≤x≤2}

D．{x|x≤0或x≥2}参考答案：D略2.对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x2+y2+2x+4y=0 B．x2+y2+2x﹣4y=0C．x2+y2﹣2x+4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0参考答案：B【考点】圆的一般方程；恒过定点的直线．【专题】计算题；直线与圆．【分析】联解直线x+y﹣1=0与x+1=0的方程，可得直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P（﹣1，2）．由圆的标准式方程，写出圆的方程再化成一般式方程，可得本题答案．【解答】解：联解，可得x=﹣1，y=2∴直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P（﹣1，2）因此以P为圆心，为半径的圆的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5化成一般式可得x2+y2+2x﹣4y=0故选：B【点评】本题给出直线经过定点P，求以P为圆心且为半径的圆．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．3.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2参考答案：C选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①②矛盾，所以C正确．4.不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A． B． C． D．参考答案：A考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据a＜0，把不等式化为（x﹣）（x﹣1）≤0，求出解集即可．解答：解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为（ax﹣2）（x﹣1）≥0，∵a＜0，∴原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）≤0，解得≤x≤1，∴原不等式的解集为[，1]．故选：A．点评：吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

)A．(x－5)2+(y+7)2=25

B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15C．(x－5)2+(y+7)2=9

D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=9参考答案：D略6.设，，n∈N，则

（

）A.

B.－

C.

D.－

参考答案：A略7.已知实数成等比数列，且曲线的极大值点的坐标为，则等于(

)A．2

B．1

C．

D．

参考答案：A略8.“”是“”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分且必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A9.若直线和⊙O∶相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为(

)A.至多一个B.

2个C.

1个D.0个参考答案：B10.已知下列等式：，，，，…，，

则推测（

）A．109 B．1033

C．199 D．29参考答案：A根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式，（且是正整数），将代入，可得，从而可以求得，于是，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有

。参考答案：6012.已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1,1)，则l与α的夹角为________．参考答案：30°略13.若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线方程为

▲

.参考答案：略14.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是______．参考答案：解：男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B，则：，，由条件概率公式可得：.15.已知，若，则

．参考答案：-316.在曲线的切线中斜率最小的切线方程是___________。

参考答案：17.设则处的切线方程为___▲___.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，并求学生乙成绩的平均数和方差；（2）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】综合题；整体思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）将成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，计算乙的平均数与方差，即可求得结论，（2）一一列举出任取两次成绩，所有基本事件，再找到满足两个成绩中至少有一个超过90分的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）茎叶图如下：

…学生甲成绩中位数为83，…（2）=85

…S乙2=[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41

…（3）甲同学超过80（分）的成绩有828195889384，任取两次成绩，所有基本事件为：（82，81），（82，95），（82，88），（82，93），（82，84），（81，95），（81，88），（81，93），（81，84），（95，88），（95，93），（95，84），（88，93），（88，84），（93，84）共15个

…其中至少有一次超过90（分）的基本事件为：（82，95）（82，93）（81，95）（81，93）（95，88），（95，93），（95，84），（88，93）（93，84）共9个．

…∴这两次成绩中至少有一次超过90（分）的概率为．…【点评】本题考查茎叶图，考查平均数与方差的计算，考查概率公式，属于基础题．19.已知数列{an}满足，.（Ⅰ）证明：是等比数列；（Ⅱ）证明：数列{an}中的任意三项不为等差数列；（Ⅲ）证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由，得，即，故.又，所以是首项为2，公比为的等比数列.（Ⅱ）下面用反证法证明数列中的任意三项不为等差数列，因为，因此数列的通项公式为.不妨设数列中存在三项，，为等差数列，又，，故，所以数列中存在三项为等差数列，只能为成立.即，化简为，两边同乘，得.又由于，所以上式左边是偶数，右边是奇数，故上式不成立，导致矛盾.（Ⅲ）由（Ⅱ）知.，，因为当时，，所以.于是.所以.

20.某茶馆为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）181310﹣1杯数24343864（1）根据表中数据，确定销售量y（杯）与气温x（℃）之间是否具有线性相关关系；（2）若具有线性相关关系，求出销售量y（杯）与气温x（℃）的线性回归方程；（3）预测当气温为20℃时，热茶约能销售多少杯？（回归系数=，=﹣精确到0.1）参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）作出散点图，根据散点图判断是否线性相关；（2）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（3）把x=20代入回归方程计算．【解答】解：（1）作出散点图，从散点图可以看出，销售量y（杯）与气温x（℃）有比较好的线性相关关系，∴可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．（2）=×（18+13+10﹣1）=10，=×（24+34+38+64）=40．=18×24+13×34+10×38﹣1×64=1190，=182+132+102+1=594．==﹣≈﹣2.1，=40﹣（﹣2.1）×10=61，∴线性回归方程为=﹣2.1x+61．（3）当x=20时，=﹣2.1×20+61=19．∴当气温为20℃时，热茶约能销售19杯．21.（本题满分12分）已知等差数列{an}的公差为2，且成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并求此时n的值.

参考答案：解(Ⅰ)由题意，得，，┄┈┈2分所以由得解得

┄┈┈4分所以，即

┄┈┈6分(Ⅱ)由(1)知，，

22.已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：参考答案：解：（1）

………1分依题意在时恒成立，即在恒成立．则在恒成立，即

………2分当时，取最小值

………………3分∴的取值范围是

………………4分

（2）设则…………5分列表：-极大值ˉ极小值-∴极小值，极大值，又

……