广东省汕头市仙港初级中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

广东省汕头市仙港初级中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+ex＜1成立的x的取值范围为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）参考答案：A【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+ex＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+ex＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2.若x>0,y>0且，则的最小值为(

)A．3

B．

C．2

D．3+参考答案：D略3.已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C4.设i是虚数单位，若复数，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.（5分）设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]参考答案：A【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据已知条件我们分别计算出集合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值．解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2）N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A【点评】：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合M，N，并用区间表示是解答本题的关键．6.已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝()A．－1

B.C．－1或

D．1或－参考答案：C7.若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先求，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为，所以因此，倾斜角为，选B.【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.8.已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A．0B．iC．﹣iD．1参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．9.过双曲线，的左焦点作圆:的两条切线，切点为，，双曲线左顶点为，若,则双曲线的渐近线方程为A． B．

C． D．参考答案：A10.（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式的解集为，则实数__________.参考答案：由可得，所以，所以，故。（14）如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.【答案】【解析】法一：因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在点处，则。12.展开式中，的系数为

（用数字作答）．参考答案：的展开式的通项为，所以，，所以的系数为，.13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和的交点坐标为

.参考答案：曲线的方程为（），曲线的方程为，

由或（舍去），则曲线和的交点坐标为.14.长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．参考答案：9π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积．【解答】解：长方体的体对角线的长是：=3球的半径是：这个球的表面积：4π=9π故答案为：9π15.已知复数z满足z（1+i）=2﹣4i，那么z=．参考答案：﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．16.已知函数,若,则.参考答案：-217.若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为

．（用数字作答）参考答案：9

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：x2=P（x2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据分层抽样，求得样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，由频率分布直方图日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有3人，25周岁以下组有2人，随机抽取2人，求得所有可能的结果，根据古典概型公式求得至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（2）据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2≈1.786＜2.706，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【解答】解：（1）由已知得：样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40人，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有60×0.05=3人，分别记为：A1，A2，A3，25周岁以下组有工人40×0.05=2人，分别记为B1，B2，从中随机抽取2人，所有可能的结果共10种，他们分别是（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B2），（A3，B2），（B1，B2），其中“至少有1名”，25周岁以下组的结果有7种，故所求概率为P=；（2）由频率分别直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15人，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15人，据此可得2×2列联表：

生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以K2=≈1.786＜2.706．所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查根据频率分布直方图的应用，考查独立性检验的概率情况，以及随机分布的概率的计算，考查运算能力，属于中档题．19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.（1）求tanC；（2）求△ABC中的最长边.参考答案：（1）－3（2）最长边为【分析】（1）根据tanA和tanB的值计算出tanC.（2）由（1）可得C为钝角，c边最长，进而根据正弦定理求得c．【详解】（1）因为.（2）由（1）知C为钝角，所以C为最大角，因为，所以，又，所以.由正弦定理得：，所以为最大边.【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．20.已知函数,，其中R.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，且，

①当时，，在上单调递增；

②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ），的定义域为

因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以

（Ⅲ）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上，

而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有所以实数的取值范围是略21.在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1℃变化到5℃，反应结果如表所示（x表示温度，y代表结果）：x12345y3571011（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程=x+；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度到达10℃时反应结果为多少？附：线性回归方程中=x+，=，=﹣b．参考答案：【分析】（1）求出回归学生，即可求出线性回归方程；（2）=2.1＞0，x与y之间是正相关，x=10，代入计算可预测当温度到达10℃时反应结果．【解答】解：（1）由题意，=3，=7.2，∴===2.1，=﹣b=7.2﹣2.1×3=0.9，∴=2.1x+0.9；（2）∵=2.1＞0，∴x与y之间是正相关，x=10时，=2.1×10+0.9=21.9．【点评】本题考查回归方程的计算与运用，考查学生的计算能力，正确求出回归方程是关键．22.（本小