湖南省郴州市博文实验中学2021年高三数学文期末试题含解析

湖南省郴州市博文实验中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】容易看出，，从而可得出a，b的大小关系．【详解】0＝log31＜log3e＜log33＝1，；∴a＜1＜b故选：D．【点睛】考查对数函数单调性的应用，对数的运算，属于基础题．2.

已知等差数列的通项公式为，则的展开式中含项的系数是该数列的A、第项

B、第项

C、第项

D、第项参考答案：答案：D解析：∵的展开式中含项为系数是∴由得

故：选D；

3.已知命题命题使，若命题“且”为真，则实数的取值范围是 ()A．

B．C．

D．参考答案：D4.下列命题中为真命题的是()A．x∈R，x2＋2x＋1＝0B．x0∈R，－≥0C．x∈N*，log2x＞0D．x0∈R，cosx0＞x＋2x0＋3参考答案：【知识点】全称命题；特称命题A2,A3【答案解析】B解析：解：对于A，当x＝1时，x2＋2x＋1≠0，故A错；对于B，当x0＝1时，－≥0，故B正确；对于C，当x＝1时，log2x＝0，故C错；对于D，x＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2，故D错．【思路点拨】举例说明A、B、C选项是否正确，根据函数的有界性判断D选项是否正确5.在△ABC中，AC=7，∠B=,△ABC的面积S=，则AB=A、5或3

B、5

C、3

D、5或6参考答案：A略6.函数，（其中，，）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（

）A. B.C. D.参考答案：A由图象可知A=1，周期，所以，又过点，所以，即，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，故选A.7.集合，则（

）A.（1，2） B. C. D.参考答案：C,，所以,选C.8.如图，一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（

）A．

B．

C.

D．1参考答案：B9.全集，非空集合，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线均对称.下列命题：①若，则；②若，则S中至少有8个元素；③若，则S中元素的个数一定为偶数；④若，则.其中正确命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：CS中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y=x均对称.所以当，则有，，，进而有：，，，①若，则，正确；②若，则，，，能确定4个元素，不正确；③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则S中元素的个数一定为偶数正确；④若，由S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y=x均对称可知，，，，即，故正确，综上：①③④正确.故选C.

10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A.8π

B.6π

C.4π

D.2π参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.参考答案：因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴，且，又双曲线的渐近线为，所以双曲线为等轴双曲线，即，所以双曲线的方程为。12.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．则函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于

（其中“?”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）参考答案：6【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题中给出的定义，分当﹣2≤x≤1时和1＜x≤2时两种情况讨论，从而确定函数的解析式．结合一次函数和三次多项式函数的单调性分别算出最大值，再加以比较即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：①当﹣2≤x≤1时，∵当a≥b时，a⊕b=a，∴1⊕x=1，2⊕x=2∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x﹣2，可得当﹣2≤x≤1时，函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）的最大值等于﹣1；②当1＜x≤2时，∵当a＜b时，a⊕b=b2，∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x2?x﹣（2⊕x）=x3﹣（2⊕x）=x3﹣2，可得当1＜x≤2时，此函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）当x=2时有最大值6．综上所述，函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）的最大值等于6故答案为：6【点评】本题给出新定义，求函数f（x）的最大值．着重考查了对新定义的理解和基本初等函数的性质，考查了分类讨论的数学思想和分析解决问题的能力，属于中档题．13.已知直线过点,且有一方向向量与向量垂直,则的方程为

.参考答案：14.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是________.参考答案：15.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是．参考答案：15【考点】等差数列的通项公式．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故答案为15．16.已知满足约束条件，则的最小值是_________.参考答案：-1517.当时，不等式恒成立，则的最大值是

．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A、B两点，求的值.参考答案：（1）曲线的直角坐标方程为,的直角坐标方程为（2）【分析】（1）利用消参求出曲线C的直角坐标方程，利用极直互化的公式求出直线的直角坐标方程；（2）先求出直线的参数方程，再利用参数的几何意义求解.【详解】解:(1)由(为参数)，得曲线的直角坐标方程为.由，得，则的直角坐标方程为.(2)易知点在直线上，直线的参数方程可写为(为参数)，代入.得.设对应的参数分别为，则故【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：5参考答案：【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布；B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．20.

如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面，且,、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求三棱锥的体积；(Ⅲ)在线段上是否存在点使得？说明理由.参考答案：(Ⅰ)证明：连结，为正方形，为中点，为中点.∴在中,//

．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且平面，平面

∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ)解：如图,取的中点,连结.∵,

∴.∵侧面底面,,

∴.又所以是等腰直角三角形，且在正方形中，……………..9分

(III)

存在点满足条件，理由如下：设点为中点，连接由为的中点，所以//，由（I）得//，且所以.∵侧面底面,,

所以，.所以，的中点为满足条件的点.……14分

略21.(本题满分12分)已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）当时，求证：.参考答案：（1）当时，故函数即（2）令，只需证明时恒成立①

设∴∴，即

②

……10分由①②知，时