安徽省阜阳市临泉县第四中学2022年高三数学文期末试题含解析

安徽省阜阳市临泉县第四中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等腰中，，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：A

【知识点】向量的数量积的运算F2解析：【思路点拨】利用向量间的关系表示出,,然后再求其数量积.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图，则该几何体的左视图为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.若向量，则下列说法中错误的是（

）A．

B．向量与向量的夹角为

C．D．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得参考答案：D试题分析：，A正确；，B正确；，C正确；因此D错误，故选D．考点：向量的垂直，向量的共线，平面向量基本定理．4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题中假命题是（

）

A．若∥，则∥

B．若，则⊥C．若，相交，则，相交

D．若，相交，则，相交参考答案：DA正确，若∥，因为，所以，又，所以∥；B正确，若，设，在平面内作直线，使⊥，根据面面垂直的性质定理得⊥，又，所以∥，而，，所以，从而⊥；C正确，假设∥，因为，所以，又，所以∥，

这与已知，相交矛盾，从而，必相交；D错误，当，时，若，相交，则，相交或，异面。故选择D。5.函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式的解集为（）A．{x＞﹣2011} B．{x|x＜﹣2011}C．{x|﹣2011＜x＜0} D．{x|﹣2016＜x＜﹣2011}参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：构造函数g（x）=x2f（x），g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））；当x＞0时，∵2f（x）+xf′（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵不等式，∴x+2016＞0时，即x＞﹣2016时，∴（x+2016）2f（x+2016）＜52f（5），∴g（x+2016）＜g（5），∴x+2016＜5，∴﹣2016＜x＜﹣2011，故选：D．6.如图，正方形内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．B．C．D．参考答案：A略8.若为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的奇偶性.9.运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是A.i>6

B.i>7

C.i>8

D.i>9参考答案：D解：i=1,y=0圈数i满足条件P①x=1y=1i=2(1,1)不满足P②x=0y=1i=3(0,1)不满足P③x=-1y=0i=4(-1,0)不满足P④x=0y=0i=5(0,0)不满足P⑤x=1y=1i=6(1,1)不满足P⑥x=0y=1i=7(0,1)不满足P⑦x=-1y=0i=8(-1,0)不满足P⑧x=0y=0i=9(0,0)不满足P⑨x=1y=1i=10(1,1)满足P∴10.函数f（x）=x+的极值情况是（）A．既无极小值，也无极大值B．当x=﹣2时，极大值为﹣4，无极小值C．当x=2，极小值为4，无极大值D．当x=﹣2时，极大值为﹣4，当x=2时极小值为4参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，函数的f（x）的导数f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0解得x＞2或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0或0＜x＜2，此时函数单调递减，故当x=2时，函数取得极小值f（2）=4，当x=﹣2时，函数取得极大值f（﹣2）=﹣4，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}中是数列{an}的前n项和，则S2015=

。

参考答案：5239【知识点】数列求和因为所以，所以数列是以5为周期的数列，而，，所以.【思路点拨】先求出数列是以5为周期的数列，再求和即可。

12.下列命题正确的序号为

.①函数的定义域为;②定义在上的偶函数最小值为;③若命题对，都有，则命题，有;④若，，则的最小值为.参考答案：13.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得

点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.参考答案：150在直角三角形ABC中，由条件可得，在△MAC中，由正弦定理可得，故，在直角△MAN中，.14.已知为边长为1的等边所在平面内一点，且满足则=

.参考答案：3略15.定义在上的函数满足，且函数为奇函数，给出下列命题：①函数不是周期函数;②函数的图像关于点对称；③函数的图像关于轴对称，其中真命题的序号为

.参考答案：②

③16.若非零向量，，满足+2+3=，且?=?=?，则与的夹角为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合?=?=?，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得，代入?=?，得，即．再代入?=?，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．17.已知向量，，若，则实数k=

．参考答案：－8

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.实验杯足球赛采用七人制淘汰赛规则，某场比赛中一班与二班在常规时间内战平，直接进入点球决胜环节，在点球决胜环节中，双方首先轮流罚点球三轮，罚中更多点球的球队获胜；若双方在三轮罚球中未分胜负，则需要进行一对一的点球决胜，即双方各派出一名队员罚点球，直至分出胜负；在前三轮罚球中，若某一时刻胜负已分，尚未出场的队员无需出场罚球（例如一班在先罚球的情况下，一班前两轮均命中，二班前两轮未能命中，则一班、二班的第三位同学无需出场），由于一班同学平时踢球热情较高，每位队员罚点球的命中率都能达到0.8，而二班队员的点球命中率只有0.5，比赛时通过抽签决定一班在每一轮都先罚球．（1）定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，求事件A发生的概率；（2）若两队在前三轮点球结束后打平，则进入一对一点球决胜，一对一点球决胜由没有在之前点球大战中出场过的队员主罚点球，若在一对一点球决胜的某一轮中，某队队员射入点球且另一队队员未能射入，则比赛结束；若两名队员均射入或者均射失点球，则进行下一轮比赛．若直至双方场上每名队员都已经出场罚球，则比赛亦结束，双方用过抽签决定胜负，以随机变量X记录双方进行一对一点球决胜的轮数，求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式，计算一班第三位同学没能出场罚球的概率值；（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，则事件A发生的概率为P（A）=0.8×0.5×0.8×0.5+0.2×0.5×0.2×0.5=0.17；（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4；计算P（X=1）=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5，P（X=2）=（1﹣P（X=1））×P（X=1）=0.25，P（X=3）=（1﹣P（X=1））2×P（X=1）=0.125，P（X=4）=（1﹣P（X=1））3=0.125；所以随机变量X的分布列是：X1234P（X）0.50.250.1250.125数学期望是E（X）=1×0.5+2×0.25+3×0.125+4×0.125=1.875（轮）．19.2010年世博会在上海召开，某商场预计2010年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：≤12且(Ⅰ）写出第x月的需求量的表达式；(Ⅱ）若第x月的销售量（单位：件），每件利润元与月份x的近似关系为：，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？参考答案：（1）当时，；

当时，

；

∴

(2），

；∵当时，，∴在上单调递增，∴当且时，；∵当时，，当时，，∴当且时，；综上，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3000元20.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位，已知圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρ=，点P在l上．（1）过P向圆C引切线，切点为F，求|PF|的最小值；（2）射线OP交圆C于R，点Q在OP上，且满足|OP|2=|OQ|?|OR|，求Q点轨迹的极坐标方程．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由同角的平方关系可得圆C的普通方程，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，可得直线的普通方程，由勾股定理和点到直线的距离公式，可得切线长的最小值；（2）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），代入圆C的极坐标方程和直线的极坐标方程，由同角公式和二倍角的正弦公式，计算即可得到所求轨迹方程．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数），可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，即有ρsinθ+ρcosθ=4，即直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．由|PO|2=|PF|2+|OF|2，由P到圆心O（0，0）的距离d最小时，|PF|取得最小值．由点到直线的距离公式可得dmin==2，可得|PF|最小值为=2；（2）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由ρ1=，ρ2=2，又|OP|2=|OQ|?|OR|，可得ρ12=ρρ2，即有ρ==×==．即Q点轨迹的极坐标方程为ρ=．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查切线长的最值的求法，注意运用勾股定理和点到直线的距离公式，考查轨迹的极坐标方程的求法，注意运用代入法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值﹣lna﹣1递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．

（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣aex=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；

（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（