安徽省滁州市第一中学高三数学理下学期期末试题含解析

安徽省滁州市第一中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先通过已知求出，再利用平方关系求的值.【详解】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.设集合，则

(

)A．｛1，3｝

B．｛2，4｝

C．｛1，2，3，5｝

D．｛2，5｝参考答案：A3.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（

）参考答案：C4.已知数列的前项和，则数列（

）

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列参考答案：C略5.若，则（）A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c参考答案：D【分析】根据对数函数性质得，再根据指数函数的性质得，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，根据指数函数的性质，可得，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.若复数满足（为虚数单位），则为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A7.“”是“复数在复平面内对应的点在第三象限”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的函数是（

）A．f(x)＝－x＋1

B.f(x)＝2x

C.f(x)＝x2－1

D.f(x)＝ln(－x)参考答案：B略9.根据某市环境保护局公布2008～2013这六年的空气质量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是A.300

B.302.5

C.305

D.

310参考答案：B10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”?“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是

.参考答案：

略12.若变量x、y满足，若的最大值为，则

参考答案：令，则，因为的最大值为，所以，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时有最大值，由，解得，即。13.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为

参考答案：

14.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右图，根据右图可得这100名学生中体重在的学生人数是

。参考答案：答案:4015.已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题

(1)

(2)在[-2，2]上有5个零点

(3)

点(2014，0)是函数的一个对称中心

(4)直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是

参考答案：(1)(2)(3)略16.程序框图如图，若输入S=1，k=1，则输出的S为．参考答案：26【考点】EF：程序框图．【分析】输入S，k的值，进入循环体，求出满足条件的S的值即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得：输入S=1，k=1，则k=2＜5，S=4，执行循环体，k=3＜5，S=11，执行循环体，k=4＜5，S=26，执行循环体，k=5≥5，退出循环体，输出S=26，故答案为：26．【点评】题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．17.定义运算符号“”：表示若干个数相乘，例如：．记，其中为数列中的第项．（1）若，则

；

(2)若，则

．参考答案：(1)105

(2)

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，在半径为，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,，（Ⅰ）将表示成的函数关系式,并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若取最大值时，且，，为中点，求的值.参考答案：【知识点】函数模型的选择与应用．B10【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为，，，所以

故………3分即，………5分（Ⅱ）=时……7分由可得.所以

………9分

由正弦定理得

所以,故在中，由余弦定理得故

………12分【思路点拨】（I）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，=sinθ．可得MN=0N﹣0M=．可得矩形PNMQ的面积y=PN?NM=，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出．（II）当=时，y取得最大值，θ=．可得A=．由cosB=，可得．由正弦定理可得：．利用两角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA．19.（12分）如图，四边形为正方形，平面，于点交于点(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值。参考答案：【知识点】直线与平面垂直：二面角.G5,G11【答案解析】(1)略(2)解析：解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；

（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°

则PC=2，PD=，由（1）知，CF⊥DF，

则，，

即有，又EF∥CD，

则，则有，

同理可得，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，

设=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则，

则有令x=4可得，则设平面ACF的一个法向量为，则，

则有，令l=4，可得r=4，，则，设二面角C-AF-E的平面角为θ，则θ为钝角，

则【思路点拨】（1）结合已知由直线和平面垂直的判定定理可证PC⊥平面ADF，即得所求；

（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可20.（12分）已知：数列的首项，前n项之和（I）求数列的通项公式。（II）是否存在一个等比数列，使得数列的前n项之和。参考答案：解析：（I）当时，即：

……（3分）

……（5分）又满足上式。故

……（6分）（II）假设存在等比数列，使得数列的前n项之和其中数列的通项公式为由

……（8分）解得：

……（9分）下面证明等比数列，满足数列的前n项之和依题意有

……（11分）故存在等比数列，使得数列的前n项之和……（12分）21.某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用频率和为1求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数．（2）利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等，判断出中位数所在的小组．（3）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及a、b到少有1人入选的情况；利用古典概型概率公式求出a、b至少有1人入选的概率．【解答】解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（4分）（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．（8分）（3）设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak；bc，bd，be，bf，bg，bh，bk；cd，ce，cf，cg，ch，c