Cha 线性代数方程组的数值解法

第四章

线性代数方程组的数值解法

§4.1概述线性代数方程组(SystemofLinearAlgebraEquations)的求解是数值计算方法中的一个重要课题。现代工程技术或科研过程中所遇到的一些实际问题，常常直接或间接地归结为求解一个线性代数方程组。例如有分支水流的流速分布、建筑结构中的设计计算和应力分析、仪器分析中的质谱分析、光谱分析、色谱分析、电力系统中的电网分析等等；另外有些数值计算方法本身也是以线性代数方程组的数值解、有限元法和边界元等等，其中间过程或者最后都会导致求解线性代数方程组。这些线性代数方程组的解法是十分必要的，有着十分重要的意义。§4.1概述本章介绍求解n阶线性代数方程组的一般形式是：或简写成矩阵形式：其中A称为方程组(4.1)式的系数矩阵；B称为方程组的右端列向量；x称谓方程组解的列向量。它们分别为

(4.1)(4.2)§4.1概述求解线性代数方程组的数值计算方法很多，大致可分为两大类：消去（元）法和迭代法。消去法是直接从方程组的系数矩阵入手，经过有限步运算求出方程组的精确解（假如没有舍入误差的话）。迭代法则是将求方程组的问题化为构造一组递推计算结构，从一组近似解出发，用这组递推结构逐步算出精度更高的近似解。上述这两类算法各有其优点和缺点，消去法的计算量小，但程序复杂；迭代法计算量大，精度不高，但程序结构简单。本章将主要介绍求解线性代数方程组的简单高斯消去法和三角分解法，迭代法将在以后相关章节中介绍。§4.2高斯消去法

§4.2.1高斯消去法的基本步骤我们以三元线性代数方程组为例，叙述简单高斯消去法（以下简称为消去法）的基本步骤，这各方法是理解其它方法的基础，消去法分为消元和回代两个过程。例4-1：消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。上例可表示为

§4.2高斯消去法这是上三角方程组，它极容易求解：由第三个方程得，代入第二个方程得，再代入第一方程。此一过程称为回代过程。从上述消元过程可以看出，三元议程组要经过两次消元（因为不用消）才能把增广矩阵化为拟上三角矩阵。对于一般的n元线性代数方程组，经经过(n-1)次消元才能把相应的增广矩阵变换为拟上三角矩阵。n元线性代数方程组的增广矩阵的一般形式如(4.3)式。§4.2高斯消去法

以下是消元步骤（共分n-1部）：第一步(k=1)：从第一列中消去第2～n行中x1的系数，即消去a11下方元素；第二步(k=2)：从第一列中消去第3～n行中x2的系数，即消去a22下方元素；(4.3)§4.2高斯消去法第j步(k=j)：从第j列中消去第j+1～n行中xj的系数；即消去ajj下方元素;第n-1步(k=n-1)：从第n-1列中消去第n行中xn-1的系数；即消去an-1n-1下方元素因此，高斯消元步骤的计算通式可写为：(4.4)§4.2高斯消去法经过n-1步消元后，增广矩阵(4.3)式变为：(4.5)§4.2高斯消去法高斯回代过程的通用递推计算公式可写为：(4.6)§4.2高斯消去法§4.2.2高斯消去法的计算量分析我们从(4-4)式可以看出，高斯消去法消去过程共分n-1步，第k步变换n-k行：对这些行先乘系数，再从n+1-k元素减去第k行相对应列的元素；因此共需乘、除次数为回代过程求xn需1次除法，求xn-1需1次乘法、1次除法，…，求x1需n-1次乘法、1次除法，因此共需乘除次数两过程共需要乘除次数为。当n=20时，N=3060.§4.2高斯消去法§4.2.2高斯消去法的程序框图与通用程序

STARTINPUTN,A(),BCALLeliminationCALLbackOUTPUTX(N)END§4.2高斯消去法10OPEN(8,

&file=‘EliminationMetod.dat,

&status=‘new’)20DIMENSIONa(n,n+1),x(n),b(n)30C

输入n,a(),b40READ(8,’(1x,i2,)’)n50DOi=1,n60READ(8,’(1x,e12.6)’)b(I)70ENDDO80DOi=1,n90DOj=1,n100READ(8,’(1x,e12.6)’)a(i,j)110ENDDO120ENDDO120C

消元过程130CALLelimination(a,b,n)140C回代过程150CALLback(a,x,n)160C

输出结果x170DOi=1,n180WRITE(9,’(1x,e12.6)’)x(i)190ENDDO200END210220230240250§4疤.2耀高斯畏消去垂法SU增BR户OU中TI组NE虫e口li饶mi呈na偶ti规onK=爪1,套n-牢1i=怒k+符1,泥nR=射a(逢i,董k)崇/a难(k衔,k驻)j=僵k+转1,煤n+险1a(扩i,加j)默=须a(蛛i,摧j)才-R撑*a纯(k稼,j售)en要d云jen京d别jen浸d滨ien侧d阳kEN外D趁SU狸BR泼OU东TI郑NE候e轮li咽mi绞na争ti秧on§4位.2狡高斯占消去英法10赏S地UB冒RO在UT区IN严E&el授im伍in扎at荷io端n(线a,阻b,缸n)20急D屡IM奸EN作SI膜ON帐a卷(n描,n适+1抱),迹b(向n)30C生成苹增广介矩阵40详D件O首i=尸1,棵n50尸a飞(i追,n如+1行)=悟b(夜i)60演E公ND士D语O70C消去肥过程椒开始80粮D挥O抹k=械1,沉n-谢190尼D鸭O雹i=畅k+锈1,阴n10剩0器R=议a(质i,牙k)屠/a义(k数,k柜)11汉0薪DO灶j糕=k仅+1倚,n显+112首0雀a(窑i,枯j)毒=土a(云i,赶j)垫-R姻*a氏(j静,k赚)13应0怀EN伙D牛DO14刷0鼻EN槽D合DO15师0烟EN阵D蒜DO16迫0木EN胀D翅SU库BR剪OU馒TI引NE剧e轧li剧mi混na感ti光on§4睁.2楚高斯嫌消去近法SU沟BR同OU梨TI蜻NE串b谎ac夕kX(替n)瓶=位a(墙n,孔n+辜1)或/a停(n贸,n始)k=送n-啊1,盈1,骆-1s=宪0j=暗k+倦1,浴ns=凳s+尊a纸(k乒,j勾)*聪x(象j)en坛d芒jX(炼k)目=(旨a(迷k,因n+府1)紫-s绵)/撑a(毙k,肥k)en竭d易kEN幼D申SU荡BR夜OU伟TI废NE畅b乐ac射k§4弊.2郊高斯址消去尘法10看SU越BR龙OU僚TI阻NE刮b宏ac坡k(顾a,充x,叶n)20卷DI迈ME议NS带IO夕N满a(幻玉n,倾n+友1)颗,x筛(n授)30铁x(绣n)前=a门(n末,n贼+1判)/垄a(筋n,谅n)40等DO休k眼=n抚-1坡,1乌,-添160翼s=价0.冶060千DO错j肤=k寻+1铸,n70甜s=欠s+今a(滴k,圣j)趣*x趣(j持)80住EN显D银DO90鹊X(增k)奖=(秆a(点k,辩n+防1)灯-s号)/跃a(壳k,膛k)10献0颤E航ND适D卧O11歇0衬E煮ND航S逮UB求RO坝UT家IN捎E轮ba值ck§4麦.2忠高斯两消去退法§4粒.2尸.3时选眯主元团法高斯妙消去吹法消数去过摩程中歉，第耳k步踏求n-双k个系超数aik/akk用到齿的除与数akk,拢称为感主元睬。如果akk为接租近于亏零或堡零，则消袍元递峰推计泊算通斗式(日4-浓4)巨将出升现被吵零除楼的情移况，植从而奋使计摄算机溢出经或无法导进行济下去匀。例4拿-2准确粮到九碧位小旦数的村解是特x1知=0宪.2绍50挥00替18糠75责，x钞2=舞0.迈49稳99爷98严74神9，幅若在桃4位羞计算估机上帆按高旅斯消兄去法排求解协，则§4脏.2埋高斯姥消去峰法回代隔得解休，大，搁显然赤产生歌严重娃失真可。造静成这厌种结蒸果的理原因稼，就骂是小土主元帜10-5的出读现。廊用它摊作除矿数会漆产生细大乘登数，卸数乘悦大乘剑数变寸大数络，大拖数吃师小数虾产生崇舍入友误差薯,如小(五)谅，从汁而使铲也有纺误差戚。因此箱，为饼了保屈证获姻得正蝇确的摘结果倦，在恐消元趴过程务中可在纽奉第k屿步的麻第k勺列的膨元素品akk,ak+抖1,棋k,…舅，捞ank中选型主元老，即企在其斑中找董出绝弯对值委最大氧的apk，然馒后交柄换第振k行恼和第唯p行蛾，继询续进缩慧行消箩去过洁程。摄这种其消去垒法为列主厘元消鹅去法。也灶可在件第k临步的仿第k甩行的湿元素砍akk,ak,哈k+还1,…弯，丛akn中选杠主元腔，即杠在其奏中找丸出绝雀对值劝最大堂的akq，交菜换第竟k行毁和第寄q行携;或夜在k饲~n优行、纠k~畜n列迷选绝军对值台最大层的元泡素稍apq，交般换k蔬、p通行和极k、疯p列伪，然撞后继桨续进兽行消当去过盈程。盗这两党种消鸣去法遵为行主堡元消拿去法和全主村元消朱去法。本岸节讨陈论应暖用广想泛且疲易于洪在计兼算机结上实抽现的茫列主消元素则消去踩法。列主弯元素健消去磁法的呢计算项步骤笔可归题纳如皂下：①是选主宝元素驶；②红把吸主元杀素所从在的除行与姥第k池行互倾换题；③向消躁元岸；④鞠回不代§4的.2么高斯削消去迁法其中鸦③、陪④两限步与跨简单劝高斯更消去兆法中验的消巨元与价回代威过程膝完全岩一样锁，也知就是超说，截列主识元消钢去法坊是在道简单墙消去瓣法的粪基础狸上引跑入选棵列主充远过立程，悬这个柏过程套并不既影响突获得图正确贴结果诊。列主罚元高昂斯消个去法吃的程体序框走图与短通用铺程序为了凭简单颠和说炎明问煌题，监将上萍面的降①和查②两勿步单丛独用熟一个械子程偏序。件因此贼，列主时元高沾斯消辟去法穴的程响序框脆图只需恒在简突单高斯康消去筛法的竖流程惨图中增君加一勉个选板列主浩元子吵程序ga召us领sp，具火体如与下：§4伙.2病高斯胜消去遥法SU伶BR佛OU窑TI远NE预g赖au这ss务pk=塑1,你n阶-1a(芦p,辈j)凭=ti=捷k+得1,截nc=礼a航bs恶(a琴(i谎,k帮))约;准p=渔ien诱d暮it=蚁a(四k,合j)晨;喊a(娘k,舱j)眠=a占(p智,j烂)en俩d纺jEN酬D鉴SU悉BR接OU售TI盈NE伙g逢au归ss叨pc=穴a代bs碰(a江(k秘,k罚))宾;靠p=浮kIf品a菠bs则(a净(i伶,K努))袖>c融?YNj=史1,叠n驴+1en夹d临k§4脉.2会高斯必消去盘法10奏S碗UB苏RO顷UT猪IN递E磁ga路us询sp赵(a游,b榆,n麦)20栏D浪IM痛EN董SI亭ON忙a属(n惭,n段+1章),坟b(兽n)30C生成订增广级矩阵40毒D漂O腰i=贞1,狼n50匆a业(i检,n常+1咸)=融b(疮i)60巾E恼ND崇D韵O70C选主亚元开迹始80葛D愧O俩k=汪1,过n-赞190弓c徐=a泥bs凤(a丙(k掉,k们))催;p哭=k10接0仪DO猫i季=k度+1吩,n11鸽0冒IF汤(a速bs夜(a戏(i骡,k足)>瞧c)洽T该HE鞭N12絮0稼c=借a扁(i辜,k扩);勿p=胖i13等0瞧EN店D北IF14野0Cp,恰k行糊交换列开始15遣0燃D声O艺j=六1,暖n+凉116票0诞t=拢a(铃k,守j)垦;a缺(k史,j厚)=挽a(怒p,炕j)17鸽0叛a(圆p,鹿j)坐=t18舞0墨EN岛D款DO19矩0漠EN耻D指DO20稻0傅EN茫D隆SU依BR医OU投TI营NE攀g员au享ss芽p§4豪.2晚高斯锐消去猛法§4桨.2茂.4费高燥斯-驾约当事法前面要所讲扯的是怒如何描将一救个线驳性方萝程组遣的系羽数矩敌阵改锄变为涌一个连上三造角矩刚阵，歇然后雅回代剑求解牧。本寻节所优讲的枪是如际何将系言数矩赏阵改腊变为趋一个扫对角璃矩阵辟，即晌，除盼对角液线元增素外屡，其蹄他元城素均贺为零§4形.2仗高斯略消去伯法列主柳元高勇斯-约旦橡消元壤过程肺的递猴推计雅算通搂式结将构为方：高斯倍-约顽旦消够去法稿消元刚过程漏的计环算量孝比高娇斯消亩去法心有所拣增加隐（约届为1府.3藏倍）法，但返是总萌的计津算量临增加域并不摧大，凉另一鸭方面怀，这羊一方攀法的吗程序鸟结构节简单打，所锄以在线实际杂中得戒到了棕广泛他的应劣用。高斯-约旦揉消去混法的富程序韵框图甚与通六用程循序自坏行设冶计。改进兰后(4志.8题)(4循.7穗)§4筒.3响三角玩分解碰法线性摘方程扒组的疲另一捏直接肆解法花是三补角形同分解拾法，赏即方镜程组牌（4叛-2陈）的界系数圾矩阵A分解属成两作个形收式简螺单的进三角俭形矩乎阵L凝和U汽的乘贤积：A=登LU。从禾而求颠解Ax=b的问坟题转胸化为晶三角典形方豪程组Lx=yUy拥=b其中(4致.9具)(4胞.1挡0)§4胖.3肥三角些分解在法比较肯等式梨左边周和右扛边乘犬积矩州阵LU的第r行主宴角元盲右边拖（含戒主角脚元）据的对咱应元红素，弓得再比作较等崖式两骄边第r列主浓角元智以下疲（不估含主猪角元梁）的安对应安元素移，得当r=1六时，律有(4莫.1旋1)(4爱.1演2)(4服.1鸭3)(4烤.1是4)§4蚁.3店三角联分解走法假定湿已求淹出U的第处1至霜第n按-1牵行和L的第牢1至屠第n微-1广列，脸由（槐4-缓11周）式煮计算侮出U的第r行元透素和由发（4肺-1啄2）面式计哲算出L的第r列元揭素（4颈-1昏3）票式至工（4典-1剑6）息式所果表示绩的矩恰阵分骆解称海Do侦ol冒it句tl援e分验解。类似敌地，运若U为单桥位上辨三角哄矩阵歉，而宴L为扯下三敢角矩础阵，温则有(4卸.1舅5)(4拒.1开6)(4恒.1耕7)§4昨.3胜三角剃分解恩法规定凶。拣称上慨述分袭解为所Cr底ou涛t分年解。实现巩了系界数矩吸阵A妥的D惧oo势li倍tt丹le羞或C悟ro枪ut胁分解报后，乐方程奶组Ax遭=b可以灵分解悔成为Ly株=b和U楼x=仗b这泳两个捕三角疲矩阵判来进跃行求靠解。设U为上底三角授矩阵商，而端L为弓单位蕉下三孤角矩恋阵，招并且旨，愧根据到公式旷（4盈-4王）和局（4阀-6哑）得桌与D静oo局li犬tt剑le诵分解醋相对凑应的矿方程飞组解屡为(4桶.1蜘8)(4降.1洞9)§4蛾.3孩三角较分解光法类似且地，法与C番ro物ut摇分解旧相应环的求露解公怒式(4研.2呆0)(4忘.2当1)§4见.3圾三角使分解询法无论此Do掏ol波it沸tl切e分另解还绢是C勾ro扮ut泻分解旧，其屈运算栽量均秩小于线高斯跪消去解法。盏为保国证它筑们能脚顺利躁、稳仔定进澡行，凶也可练选列朋主元徐。用C猫ro娘ut肚分解地法求享解方数程组夕Ax耕=b担的步考骤如鸣下：①用（己4-乡丰17真）式智求lir;②确定啦最大厌列主却元；③用（豆4-敌18这）式邀求uir,进行死分解贺；④回代封。通季用公暑式为(4放.2肯2)(4登.2瓦3)§4衰.3扶追赶掘法求解讯三对污角占获优方阴程组若作扫Cr枯ou眨t分槐解，捆则有§4兔.3裂追赶殿法比较刚Cr辰ou单t解泉，易济知回代糠得妇。(4业.2烤4)(4蜜.2笋5)§4洪.3惑追赶极法按照税以上雪公式底求解Ax投=b的方双法就须叫做届追赶知法，坦其中ui、li和yi称追轰，回工代称越赶，膊乘菌除法岸运算趋量仅绪为5鄙n-慰4，枝远比僻一般趋方程橡组的眉高斯债消去嫁法或抄三角夕分解姻法的幻玉运算秋量少突。不挨用选特主元嫩，就泄可保圣证顺伏利、吵稳定蔑进行初计算成。§4晋.4曲舍入除误差湿对解渗的影匹响本节跪研究偏线性旗代数晨方程中组解丝式的误颠差。泰衡量截数的架误差挣用绝拼对值碑。方弃程组略的解障是向国量，捏衡量偶其误猴差，盗自然恶也会拨想到它绝对价值的巾概念据。§4廉.4呢.1感向络量与龄矩阵壶范数众所爷周知起，数国x的般绝对这值┃沿x┃友是x椅的函根数:探┃哈x┃萍=φ(x欲),具有胞以下病三性创质：（1喂）（2迅）对看任意顾实数（3秩）推广羞到向样量仇，具题有如碗下类柱似性宝质的招函数芦：。该撞函数杆成为硬向量纯x贼的范贺数或见模或属长度贷，它待也应喷该具动有以贞下性陪质：（1要）非霸负性（2贡）齐顾次性登：对维任意壮实数（3讽）三园角不雨等式久：§4循.4层舍入恭误差暴对解找的影垫响几何梦上三晕角不床等式闪表示奶：在卫以向保量x主、y宏及其贡和x糖-y振构成坑的三陈角形蛋中，锅一边针之长辨不超跌过另泰两边尊边长唯之和游，即从而表示筑以x渣、y生和x墨-y冰为边双的三盆角形净中，蜂一边侍之长汽不小宿于另怠两边领边长仗之差揪。常用坦向量叼范数漫有3云种，霸即：分别机称为1范刑数、组2范胖数和垃无穷烧大范黄数。不朋难验盟证它本们具曲有性样质（酿1）档和（洋2）跳。对交于性§4谱.4拣舍入杏误差贞对解阿的影还响性质坚（3油），怀这里宵已2析范数合为例望，给杂出证电明，状以供数参考咳。最后馒不等常式称静Ca谱uc虽hy毅不等可式。心注意研对任叙意实秀数§4炮.4趁舍入及误差窜对解材的影横响由蒙二次柏式的拖判别辈式吸，便辛可推惕出C右au祖ch些y不寨等式千，因心而2领范数属的性终质（负3）钳得证聋。对于暑n阶脊方阵所，具欲有如下下4岛种性无质的广函数教称为歉矩阵格范数嗓。（1私）（2让）对创任意责实数（3品）（4伸）容易浇验证盖矩阵养函数具有假上述纵4种迁性质葬，因糕而，蛙它是脊一种促范数瞎，称酿为矩始阵的F范汪数。常用聪矩阵够范数渣是如经下三伤种范暮数：§4腥.4弊舍入持误差铅对解菜的影触响其中咬表回示矩废阵蔽的典谱半低径，暮即然特视征值演绝对突值的淹最大灾值。孔三种锁范数剂分别腔称为战1范云数或鸟列范艰数，碰无穷竿大范瓜数或餐行范雁数，涉2范隆数或母谱范绞数。可以贝证明昌，矩在阵的页这三忽种范由数还司具有铃以下捐3种筒性质：（艺满足蓝性质牺（1泄）的库矩阵悠范数督成为相容计范数）（1犯）（2厨）单牛位矩邮阵I梯的范冬数（3顽）世时幅可棕逆且(4凭.2排6)§4韵.4雀舍入傲误差句对解改的影蓝响例4众-3设则§4测.4旬舍入怪误差盟对解鹿的影号响它的盖三个乌根为§4液.4数.1有误富差分鸣析设线堂性方身程组Ax勿=b中，A为非烘奇异罩矩阵献，x为方扔程组肿的精成确解懂。假躲定b有误螺差∆b,则味解为x+醒∆x,即§4域.4愤舍入堂误差搅对解贤的影恨响即两边活取范奏数又因由（块4-牺30税）和捡（4卫-3