河南省信阳市潢川县第一中学高三数学理下学期期末试题含解析

河南省信阳市潢川县第一中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（

）A.

B.

C.3

D.2参考答案：B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.

2.如图，已知抛物线和圆，直线l经过C1的焦点F，自上而下依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则的值为A．

B．

C．1

D．2参考答案：C3.定义域为的偶函数在区间（0，+）上的图象如图所示，则不等式>0的解集是

A．（－，－1）（0，1）

B．（－1，0）（1，+）

C．（－，－1）（1，+）

D．（－1，0）（0，1）参考答案：B略4.已知集合，，若，则a的取值范围是（

）A．(－∞,3]

B．(－∞,4]

C．(3,4)

D．[3,4]参考答案：D由题意可得：，又，，∴,∴3≤a≤4故选：D

5.定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为.已知，则函数在上的几何平均数为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略6.已知A为椭圆（a＞b＞0）上一点，B为点A关于原点的对称点，F为椭圆的左焦点，且AF⊥BF，若∠ABF∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[0，] B．[，1） C．[0，] D．[，]参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用∠ABF和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据∠ABF的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a．又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a

…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，设∠ABF=α，则|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα

…②把②代入①得：2csinα+2ccosα=2a，∴，即e=，∵∴∈[]，∴≤，∴≤sin（α+）≤1，∴．故选：D．7.下列命题错误的是A.命题“若”的逆否命题为“若”B.“”是“”的充分不必要条件C.若为假命题，则均为假命题D.对于命题则参考答案：A略8.设等差数列的前项和为，若，，则A．63

B．45

C．36

D．27参考答案：B略9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量，其中，，，若，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是参考答案：A略10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列的前项和为，若，则_______________.参考答案：略12.设等差数列的前项和为，若,则=

.参考答案：18【考点】等差数列【试题解析】等差数列中，

所以13.下列命题中正确的是．（将正确结论的序号全填上）①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．参考答案：③【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】①举例说明有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱；②举例说明各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱；③画图说明三棱锥的四个面都是直角三角形．【解答】解：对于①，有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，如斜放的一摞书，∴①错误；对于②，各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，如底面是菱形时，且各侧面都是正方形，也是正棱柱，∴②错误；对于③，如图所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形，∴③正确．综上，正确的命题是③．故答案为：③．14.若函数在点处存在极值，则a=

，b=

。参考答案：-2，略15.已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；②当x＞a时，f（x）是递增函数；③f（x）=0至多有两个实数根；④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．其中正确的序号是．参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象关于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单调性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．【解答】解：对各个选项分别加以判别：对于①，当a=0时，f（x）=|x|x+b，可得f（﹣x）=﹣|x|x+b∴f（x）+f（﹣x）=2b，可得f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；对于②，当x＞a时，f（x）=x（x﹣a）+b，图象的对称轴为，开口向上因此在对称轴的右侧为增函数，所以当x＞a时，f（x）是递增函数；对于③，可以取a=3，b=﹣2时，f（x）=0有三个实数根：，故③不正确；对于④，当0≤x≤a时，f（x）=﹣x2+ax+b当x=时，函数的最大值为f（）=．故答案为：①②④【点评】本题以函数的奇偶性和单调性为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题，熟练掌握函数的基本性质是解决本题的关键所在．16.已知函数,若,则.参考答案：或17.已知函数，的四个根为，，，，且，则

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为2．（Ⅰ）求椭圆的长轴长；（Ⅱ）过椭圆中心O的直线与椭圆交于A、B两点（A、B不是椭圆的顶点），点M在长轴所在直线上，且,直线BM与椭圆交于点D，求证：ADAB。参考答案：(Ⅰ)由已知，又，解得，所以椭圆的长轴长（Ⅱ）以O为坐标原点长轴所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系，不妨设椭圆的焦点在x轴上，则由(1)可知椭圆的方程为；设A，D,则A∵

∴M根据题意，BM满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，，

∴ADAB19.在△ABC中，，AD是的内角平分线，点D在线段BC上，且.（1）求sinB的值；（2）若，求△ABC的面积.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理列方程，求得，两边平方后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.（2）首先求得的值，利用两角和的正弦公式求得，然后求得，进而求得，从而求得三角形的面积.【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，两式相除得，即，∴，即，又，所以，故.（2）由，得是锐角，于是，所以，在中，由正弦定理得，于是，所以.【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.20.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为M，，求实数a的取值范围.参考答案：（1）或；（2）.试题分析：（1）分段去绝对值求解即可；（2）不等式的解集包含，所以不等式在恒成立，可得，即，所以，求解即可.试题解析：（1）当时，原不等式可化为.①当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.②当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.③当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.综上所述，当时，不等式可化为，的解集为或.（2）不等式，因为不等式的解集包含，所以不等式在，所以不等式，所以可得，即，所以，解得，求实数的取值范围是.21.已知函数图象上一点处的切线方程为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（Ⅲ）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数.参考答案：（Ⅰ）且解得（Ⅱ），令则令，得舍去).当时，当时是增函数；当时，当时是减函数；于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：.即（Ⅲ）由题意假设结论不成立，则有：

①-②，得由④得

，即⑤令则在（0，1）增函数，⑤式不成立，与假设矛盾.略22.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（，1），=（