中考梳理：相似三角形的常见模型及典型例题课件

中考中相似三角形的常见模型中考中相似三角形的常见模型1.相似的基本模型：2.基本辅助线：3.基本问题类型：（1）A字、8字；（3）角平分线；（4）旋转型；（5）一线三等角；（6）线束模型；（7）内接矩形；（8）相似比与面积比。（2）反A、反8；（1）作平行线构造A字、8字；（2）作垂线构造直角三角形相似（1）证明相似；（2）求线段长；（3）求线段的比；（4）证明线段的等积式。【模型1】“A”字型＆“8”字型中考中相似三角形的模型ABCDE△ADE∽△ABC（1）对应相比：（2）对应边比：中考中相似三角形的模型【模型1】“A”字型＆“8”字型ABCDE△ADE∽△ABC（1）对应相比：（2）对应边比：例1如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O，BE//CD交CA延长线于E．求证：．BACDEOAD//BCBE//CD例2如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=4，AC=9.（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB.ABCDE1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E在CD上，连结AE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：△ADE∽△FCE；（2）若AB=4，AD=6，CF=2，求DE的长。EFDBCA2.如图,AD⊥AC,BC⊥AC,AB与CD相交于点E,过点E作EF⊥AC交AC于F.（1）写出图中的所有相似三角形，并说明理由；（2）求证：EFDBCA中考中相似三角形的模型△ADE∽△ABC【模型2】反“A”字型＆反“8”字型ABCDE等积式（1）对应相比：（2）共线边乘积相等：（Ⅰ）DE在内部：中考中相似三角形的模型△ACE∽△ABC【模型2】反“A”字型＆反“8”字型ABCE等积式最常用（1）对应相比：（2）公共边平方=共线边之积：（Ⅱ）DE拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：中考中相似三角形的模型【模型2】反“A”字型＆反“8”字型ABCE等积式最常用ABCD射影定理特例（Ⅱ）DE拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：中考中相似三角形的模型△ADE∽△ABC【模型2】反“A”字型＆反“8”字型ABCED（Ⅲ）DE继续往下拉到AC延长线上：（1）对应相比：（2）共线边乘积相等：中考中相似三角形的模型【模型2】反“A”字型＆反“8”字型燕尾特例ABCEDABDEC（Ⅲ）DE继续往下拉到AC延长线上（特殊情况，燕尾）中考中相似三角形的模型△ADE∽△ABC【模型2】反“A”字型＆反“8”字型等积式ABCDE（1）对应边比：（2）共线边乘积相等：中考中相似三角形的模型△ADE∽△ABC最常使用：证明图示四组相等角。【模型2】反“A”字型＆反“8”字型ABCDE拓展延伸：反“8”字，两组相似共存△ACE∽△ABD证明：∵△ADE∽△ABC∴又∵∠CAE=∠DAB∴△ACE∽△ABD例3如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A、∠AED=∠B

B、∠ADE=∠CC、D、ABCEDDABCD【同步练习】如图，在△ABC中，点D是边AB上任意一点,下列条件中不能判断△ACD∽△ABC的是（）A、∠ACB=∠ADC

B、∠ACD=∠ABCC、D、D分别交AD、AC于E、F两点，求证：例4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，CG//AB，BGEABDCFG仔细观察寻找中间转化量例5如图，已知BD、CE是△ABC的高。（2）连结DE，求证：△ADE∽△ABC；（1）求证：AE.AB=AD.AC；AEDBCADBAEC1.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B.（1）求证：AC.CD=CP.BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD//AB时，求BP的长。BACPD2.如图,D是△ABC的BC边上一点,E为AF上一点,若∠DAC=∠B,

且CD=CE，试说明：△ACE∽△BADABCDE3.如图，已知∠BAC=90°，BD=DC，DE⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F.试说明：FEDCBA中考中相似三角形的模型△BAD∽△BEC【模型3】角平分线型【角平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例】E内角平分线定理DABC（1）内角平分线定理：（2）证明：作平行线构造A字型相似中考中相似三角形的模型【模型3】角平分线型【三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比】E外角平分线定理DABCF（1）外角平分线定理：（2）证明：作平行线构造A字型相似例6阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则.下面是这个定理的部分证明过程。证明：如图2，过C作CE//DA，交BA的延长线于点E……

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD

平分∠BAC，则△ABD的周长是.ABCDABCDACBDE图1图2图3中考中相似三角形的模型【模型4】旋转型相似→“成对”出现ABCDE【图形1】△ADE∽△ABCABCDE△ABD∽△ACEABCED中考中相似三角形的模型【模型4】旋转型相似→“成对”出现【图形2】△ADE∽△ABC且△ADE、△ABC都是等腰三角形DE△ABD∽△ACE等腰三角形ABCABCDEABCDE（1）求证：∠BAD=∠CAE；例7如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC交于点F,（2）若∠BAD=21°,求∠EBC的度数；（3）若连结EC，求证：△ABC∽△ACDCABEDF【变式练习】如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC交于点F，并且（1）求证：△ABC∽△ADE∠BAD=∠CAE，（2）求证：△AEF∽△BFCABCDFE中考中相似三角形的模型【模型5】一线三等角相似【一级形态】基本一线三等角，锐角＆钝角，∠B=∠C=∠EDF△BED∽△CDFDABCEFDBCAEFDEBCF证明：∵∠EDC=∠B+∠BED∴∠BED=∠FDC∴△BED∽△CDF又∵∠B=∠C=∠EDF∴∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED技巧横×横=竖×竖（1）对应边比：（2）变形公式：中考中相似三角形的模型【模型5】一线三等角相似【一级形态】基本一线三等角，锐角＆钝角，∠B=∠C=∠EDF△BED∽△CDFDEBCFEBDCFD是BC的中点△BDE∽△CFD∽△EDF且DE、DF是角平分线特殊情况中考中相似三角形的模型【模型5】一线三等角相似【二级形态】三垂直模型→K型相似△BED∽△CDFDEBCFFEBDC中考中相似三角形的模型【模型5】一线三等角相似【二级形态】三垂直模型→K型相似△BED∽△CDFFEBDCFBDCEFEDBQMCRTP☆基本结论1：△BED∽△CDF，将图中相似三角形进行平移仍相似☆基本结论2：矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：☆基本结论3：特别地，当矩形PQTR为正方形时，DE=MF.例8如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC边上动点，∠EDF=60°.（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=3时，求BE的长。BADCEFABCPQ【变式练习】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC.（1）若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长；（2）若BP=x，CQ=y,求y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围。例9如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CD，AD与BE相交于点F.（1）求证：△ABD≌△BCE；（3）当AF=7，DF=1时，求BD的长。（2）求证：△ABE∽△FAE；BACEFD【变式】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，求线段AD、AB、CD之间的数量关系。EDBCA中考中相似三角形的模型【模型6】内接矩形→高之比等于相似比（横比=竖比）共性：A字型相似EDABCFEABCDHFNMEFABCHDNM例10如图，△ABC是一块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上。（1）这个正方形零件的边长是多少？（2）如果把正方形的零件改变为加工矩形零件，设DP=x，DE=y，写出y

与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。（3）当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?（4）在问题（3）中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。

（量得BN=70cm）PBACDEFMNPBACDEFMN1.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80