高考数学真题汇编 4：数列 理 试题

高考数学真题汇编4：数列理试题

本卷编写于2022年2月8日，出题人为令狐学复、欧阳化语、令狐理总。本卷为2021高考真题分类汇编之数列部分。一、选择题1.【2021高考真题理1】在等差数列{an}中，已知a2=1，a4=5，求该数列的前5项和S5。【答案】B。2.【2021高考真题理7】设Sn为公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，下列命题中错误的选项是：A.假设d<0，那么数列{Sn}有最大项。B.假设d>0，那么数列{Sn}是递增数列。C.{Sn}是递增数列，那么d<0。D.假设对任意n∈N，均有Sn>0，那么数列{Sn}是递增数列。【答案】C。3.【2021高考真题新课标理5】已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5*a6=-8，求a1+a10的值。【答案】D。4.【2021高考真题理18】设an=2^(n-1)+2^(4-n)，则第100个数是多少？【答案】D。5.【2021高考真题理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，求该数列的前11项和S11以及在S1,S2,...,S100中，正数的个数。【答案】S11=88，正数的个数为58。6.【2021高考真题理12】设函数f(x)=2x-cosx，{an}是公差为f(a1),f(a2),...,f(a5)的等差数列，已知f(a1)+f(a2)+...+f(a5)=5π，求[f(a3)]-a1*a5的值。【答案】D，答案为π/2。7.定义在$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上的函数$f(x)$，若对于任意给定的等比数列$\{a_n\}$，$\{f(a_n)\}$仍是等比数列，则称$f(x)$为“保等比数列函数”。现有定义在$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上的如下函数：①$f(x)=x^2$；②$f(x)=2x$；③$f(x)=|x|$；④$f(x)=\ln|x|$。其中是“保等比数列函数”的$f(x)$的序号为$\textbf{C}$。8.等差数列$\{a_n\}$中，$a_1+a_5=10$，$a_4=7$，则数列$\{a_n\}$的公差为$\textbf{2}$。9.公比为$32$的等比数列$\{a_n\}$的各项都是正数，且$a_3a_{11}=16$，则$\log_2a_{16}=\textbf{5}$。11.设公比为$q$$(q>0)$的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$。假设$S_2=3a_2+2$，$S_4=3a_4+2$，则$q=\textbf{3}$。12.记$[x]$为不超过实数$x$的最大整数，例如，$[2]=2$，$[1.5]=1$，$[-0.3]=-1$。设$a$为正整数，数列$\{x_n\}$满足$x_1=a$，$x_{n+1}=[a]x_n^2$$(n\in\mathbb{N}^*)$，现有以下命题：①当$a=5$时，数列$\{x_n\}$的前$3$项依次为$5$，$3$，$2$；②对数列$\{x_n\}$都存在正整数$k$，当$n\geqk$时总有$x_n=x_k$；③当$n\geq1$时，$x_n>a-1$；④对某个正整数$k$，假设$x_{k+1}\geqx_k$，则$x_n=[a]$。其中的真命题有$\textbf{①③④}$。13.数列{an}满足an+1+(-1)an=2n-1，求{an}的前60项和为1830。14.等比数列{an}为递增数列，且a5=a10，2(an+an+2)=5an+1，求{an}的通项公式为2。15.设数列{an},{bn}都是等差数列，且a1+b1=7，a3+b3=21，求a5+b5=35。16.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=1，S1=1，S2=a3，求a2=2。17.递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a2-4，求an=2n-1。18.求lim(1/n+5n-n^2)/(2/5n)当n趋向于无穷大时的值为1/2。19.有一列正方体，棱长组成以1为首项、7，8，9，…，那么lim(V1+V2+…+Vn)/n当n趋向于无穷大时的值为8。20.数列{an}的通项公式为3018。21.各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足an+1=an+bn(an+bn)，n∈N*，(1)设bn+1=1+(bn/an)，n∈N*，求证：数列{2n/(an+bn)}是等差数列；(2)设bn+1=2bn，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值。注：该题有两个小问，第一个小问的证明过程需要补充。题目：证明数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都是正数数列，且$\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}=1+\frac{b_n}{a_n}$，则数列$\{a_n\}$是等比数列，且公比为1。解答：首先根据等比数列的定义，数列$\{a_n\}$是正数数列。对于$\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}=1+\frac{b_n}{a_n}$，移项得到$\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}-1=\frac{b_n}{a_n}$，即$\displaystyle\frac{b_{n+1}-b_n}{b_n}=\frac{b_n}{a_n}$。左边是$\{b_n\}$的差商，即$\displaystyle\frac{b_{n+1}-b_n}{b_n}=\frac{b_n}{a_n}$，由等比数列的性质可知，$\{b_n\}$是等比数列，且公比为1。因此，根据等比数列的性质，$\{a_n\}$也是等比数列，且公比为1。本题考查了数列的基本性质和解题方法。首先根据题设和等比数列的性质，推导出an+1/an=1+bn+1/bn-1，进而得到an+1/an<=2，再用反证法证明公比q=1，得到通项公式an=-3n+5或3n-7。然后根据题意，求出a2，a3，a1成等比数列时，数列的前n项和Sn。最终得到答案：an=-3n+5或3n-7，Sn=4(n=1)，5(n=2)，Sn=3n2-10n+16(n>=3)。26.【2021高考真题理22】(本小题满分是14分)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=an+2n(n+1)，n∈N+。（1）求a2，a3，a4的值；（2）证明：对一切正整数n，有Sn<n3+3n2+2n；（3）求数列{an}的通项公式。【答案】此题考察了数列的递推公式和前n项和公式，以及对不等式的证明问题，考察了学生的基本运算求解能力和推理论证能力，难度适中。1.设抛物线y=-x^2与x轴正半轴相交于点A，点A的横坐标为2，求该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距f(n)。【Ⅰ】根据导数定义可知，当x=2时，y=-4，抛物线的斜率为-4，所以切线的斜率为-4，过点A的切线方程为y=-4(x-2)-4=-4x+8，即f(n)=-4。【Ⅱ】切线的斜率为-4，所以y=-4x+8，将x=2+n代入可得f(n)=-4(2+n)+8=-4n。又因为f(n)>=1/n^3，所以-4n>=1/n^3，即n^3>=-1/4，所以n>=1，因此最小值为a=1。【Ⅲ】当a<1时，考虑比较两个无穷级数的大小：∑(k=1ton)[f(1)-f(n)]/k^2与∑(k=1ton)[f(k)-f(2k)]/[4f(0)-f(1)]对于第一个级数，由于f(n)=-4n，所以f(1)-f(n)=4(n-1)，因此第一个级数的通项公式为4(1-1/n)，由比较审敛法知该级数收敛。对于第二个级数，由于f(0)=0，f(1)=-4，所以4f(0)-f(1)=0，因此该级数不收敛。综上所述，当a<1时，第一个级数收敛，第二个级数发散，因此比值小于1，即第一个级数比第二个级数小。2.设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2+1，n∈N，且a1，a2+5，a3成等差数列。【4】根据等差数列的通项公式可知，a3-a2=a2-a1，即a3-2a2+a1=0，又因为2S1=a2-a1+1，所以a1=2S1-1。【5】由等差数列的通项公式可知，an=a1+(n-1)d，代入已知条件可得a3=a1+2d，a2=a1+d，所以d=3，a1=2S1-1，an=2S1+3(n-1)。【6】对于任意正整数n，有a1/a2*a2/a3*...*an-1/an*an/a1=(2S1-1)/(2S1+5)*(2S1+2)/(2S1+8)*...*(2S1+3(n-2))/(2S1+3n)=(2S1-1)/(2S1+5)*(2S1+2)/(2S1+8)*...*(2S1+3(n-2))/(2S1+3n)*(2S1+3(n-1))/(2S1-1)=(2S1+3n)/(2S1+5)*(2S1+3(n-1))/(2S1+8)*...*(2S1+3)/(2S1+3(n-2))=[(2S1+3n)/(2S1+3)*(2S1+3(n-1))/(2S1+6)*...*(2S1+6)/(2S1+3)]/[(2S1+5)/(2S1+3)*(2S1+8)/(2S1+6)*...*(2S1+3n)/(2S1+3(n-2))]=[(2S1+3n)/(2S1+3)]/[(2S1+5)/(2S1+3(n-1))]=(2S1+3n)/(a3+2n-3)由于a3+2n-3>a3>a1，所以a1/(a2*a3*...*an)<(2S1+3n)/(a3+2n-3)<a3/(a1*a2*...*an)，即a1/(a2*a3*...*an)<(2S1+3n)/(a3+2n-3)<1/a1，所以a1/(a2*a3*...*an)<1/a1，即a1^2<a2*a3*...*an，所以a1^2<(2S1+3n)/(2S1-1)。【答案】本卷2022年2月8日编写；出题人：令狐学复、欧阳化语、令狐理总。29.【2021高考真题理21】（本小题满分12分，I小问5分，II小问7分）设数列an的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0。〔I〕求证：an是首项为1的等比数列；〔II〕假设a2>-1，求证：Sn≤n(a1+a2)，并给出等号成立的充要条件。【点评】此题主要考察数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识。此题属于信息给出题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考察考生分析探究及推理论证的能力。综合考察集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视。30.【2021高考真题理17】（本小题满分12分）数列{an}的前n项和Sn=-1/(2n+k)n，k∈N*，且Sn的最大值为8。〔1〕确定常数k，求an；〔2〕求数列{9-2an}的前n项和Tn。【点评】此题考察数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用。利用an=S(n)-S(n-1)来实现an与Sn的互相转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意an=S(n)-S(n-1)不能用来求解首项an，首项an一般通过an=S1来求解。运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是哪一项等差数列、另一项是哪一项等比数列。31.【2021高考真题理21】（本小题满分13分）2*数列{xn}满足：x1=0，xn+1=-xn+xn+c(n∈N)。【答案】本卷2022年2月8日编写；出题人：令狐学复、欧阳化语、令狐理总。证明：数列{x_n}是单调递减数列的充分必要条件是c<0。求c的取值范围，使数列{x_n}是单调递增数列。【答案】此题考察数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考察综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。【解析】〔I〕必要条件当c<0时，有x_{n+1}=-x_n+x_n+c<x_n，因此数列{x_n}是单调递减数列。充分条件当数列{x_n}是单调递减数列时，有x_1>x_2=-x_1+x_1+c=c，因此c<x_1，得到数列{x_n}是单调递减数列的充分必要条件是c<0。〔II〕由〔I〕得：c≥0。①当c=0时，a_n=a_1=n，不符合题意；②当c>0时，有x_2=c>x_1，x_3=-c+2c>x_2=c，因此c<x_3<1，有x_n+1-x_n=c-x_n>0，因此数列{x_n}是单调递增数列。当c≤0时，有x_n<c≤x_1，因此x_n+x_{n+1}-1<x_{n+2}-x_{n+1}，因此数列{x_n}是单调递减数列。综上所述，数列{x_n}是单调递增数列的充分必要条件是0≤c<1。【Ⅰ】求数列{a_n}与{b_n}的通项公式。因为{a_n}是等差数列，设其公差为d，则有a_n=2+(n-1)d，因此S_n=n[2+(n-1)d]/2。因为{b_n}是等比数列，设其首项为2，公比为q，则有b_n=2q^(n-1)，因此S_n=2(1-q^n)/(1-q)。由a_4+b_4=27可得2+3d+8q^3=27，由S_4-b_4=10可得n(2+2d+4q+8q^2-2q^3)/3-2q^3=10，联立以上两式解得d=3，q=2/3。因此{a_n}=2+3(n-1)，{b_n}=2(2/3)^(n-1)。【答案】33.数列{an}的各项均为正数，记Tn=a1/bn+a2/bn-1+…+an/b1，n∈N，证明Tn+12=-2an+10bn〔n∈N〕.解：对于任意n∈N，有Tn=a1/bn+a2/bn-1+…+an/b1将Tn的每一项乘以bn，得到Tn×bn=a1+a2×bn/bn-1+…+an-1×bn/2+an×bn/1将Tn的每一项乘以bn-1，得到Tn×bn-1=a1×bn-1/bn+a2+…+an-1×bn-1/1+an×bn-1/2将Tn的每一项乘以bn-2，得到Tn×bn-2=a1×bn-2/bn-1+a2×bn-2/bn-2+…+an-1+an×bn-2/1将Tn×bn-1的每一项减去Tn×bn-2的对应项，得到Tn×bn-1-Tn×bn-2=a1×(bn-1/bn-bn-2/bn-1)+a2×(bn-2/bn-1-1)+…+an-1×(1-bn-2/bn-