平均值的有效数字课件

实验测量不确定度

与数据处理陈婷基础物理实验室，厦门大学

Outline一、测量与误差

1.物理测量

2.测量的系统误差与随机误差

3.系统误差的估算4.随机误差的估算二、不确定度

1.A类评定

2.B类评定

3.总不确定度

4.相对不确定度

5.间接测量量的不确定度估算

6.不确定度均分原则--根据测量精度要求选择仪器

三、有效数字

1.测量结果的有效数字

2.有效数字的运算法则四、实验数据处理

1.列表法

2.逐差法

3.作图法物理测量运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍。大多数的测量结果不但有数值而且有单位。直接测量与间接测量。测量过程仪器方法人：观测者环境等精度测量测量误差误差：观测值与真实值之间的差异。实验仪器：灵敏度和分辨能力有局限性、本身缺陷、未按规定条件使用仪器（如零点校准）实验理论、方法：理论公式本身的近似性（单摆测g）、实验条件不能达到理论公式所规定的要求（热）、实验方法本身不完善（伏安-内阻）观测者：个人感官和运动器官的反应或习惯、精神状态周围环境：不稳定其他不确定因素：零件的摩擦、间隙，热起伏，观察者的生理变化系统误差随机误差测量结果与误差a.系统误差为主b.随机误差为主c.系统误差与随机误差都较小d.系统误差与随机误差都较大误差消除系统误差：理论、方法上的误差要尽量消除或补偿，采用精密度较高的仪器，按规定使用仪器，实验时保持认真专注的态度。。。随机误差：多次等精度测量求平均值单次测量：（1）测量结果的准确度要求不高，允许可以粗略地估计误差的大小；（2）在安排实验时，已作过分析，认为测量误差<<仪器误差；（仪器灵敏度低，多次测量结果相同。）（3）受条件的限制，无法对待测量进行重复测量。（如动态测量）系统误差的估算仪器误差仪器的公差（额定误差）Δ仪：厂家所制造的同规格的仪器有可能产生的最大误差。最小分度：常用仪器的主要技术条件和仪器的最大公差

量具（仪器）量程最小分度值出厂公差米尺(竹尺)30-50cm60-100cm1mm1mm±1.0mm±1.5mm钢板尺150mm500mm1000mm1mm1mm1mm±1.0mm±1.5mm±2.0mm钢卷尺1m2m1mm1mm±0.8mm±1.2mm游标卡尺125mm300mm0.02mm0.05mm±0.02mm±0.05mm螺旋测微计（千分尺）0-25mm0.01mm±0.004mm常用仪器的主要技术条件和仪器的最大公差量具（仪器）量程最小分度值出厂公差七级天平（物理天平）500g0.05g0.08g（接近滿量程）0.06g（1/2量程附近）0.04g（1/3量程和以下）三级天平（分析天平）200g0.1mg1.3mg（接近滿量程）1.0mg（1/2量程附近）0.7mg（1/3量程和以下）普通温度计(水银或有机溶剂)0-1000℃10℃±10℃电阻箱k%×读数(k为准确度等级)

指针式电表k%×满量程数字式电表K%×读数+ND随机误差的估算算术平均值：数学期望：真值=测量值+随机误差+系统误差

=数学期望+系统误差是连续的概率概率密度函数随机误差随机变量的分散程度———>物理量？标准偏差（standarddeviation）标准误差（standarderror）标准偏差定义设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差σx,则有σ1=li

−

X

σ2=l2

−

X

……σn=ln

−

X

我们定义标准偏差σ（standarddeviation)为由于真值X都是不可知的,因此真差σx也就无法求得,故上式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式通过数学推导可得真差σ与残差V的关系为代入标准偏差定义式，则有单次测量的标准偏差：（贝塞尔公式）测量列平均值的标准误差(standarderror)在一定测量条件下（真值未知），对同一被测几何量进行多组测量(每组皆测量N次)，则对应每组N次测量都有一个算术平均值，各组的算术平均值不相同。不过，它们的分散程度要比单次测量值的分散程度小得多。描述它们的分散程度可以用标准误差作为评定指标。根据误差理论，测量列算术平均值的标准误差与测量列单次测量值的标准偏差σx存在如下关系随机变量数列随机变量的标准差（standarddeviation）随机变量平均值的标准误差（standarderror）

（贝塞尔公式）随机变量的分布--正态分布概率含量99.7%概率含量68.3%单峰对称有界抵偿系统误差的估算：仪器误差随机误差的估算：平均值的标准误差如果同时考虑以上两种误差，最后得到的测量结果总误差是如何表示的呢？为了更加科学地表示测量结果，国际计量局（BIPM）和国际标准化（ISO）等国际组织制定了《实验不确定度的规定建议书INC-1（1980）》及《测量不确定度表示指南（1993）》，规定采用不确定度来评定测量结果的质量。不确定度不确定度测量误差=测量值-真值

测量结果真值在量值之中的概率为p。显然，u越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。一般不知道！如何描述？不确定度的评定随机误差：可用概率统计法计算的A类评定系统误差：用其它非统计方法估算的B类评定A类评定1.用贝塞尔公式求测量列的标准偏差：2.剔除坏点：剔除不符合统计规律的坏点，如以外的数据点。3.求算术平均值的标准误差：4.作t分布修正。A类评定当测量次数足够多时，测量值分布经常满足正态分布；但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布，而是遵循t分布。因此为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大，乘上一个t因子，即：三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)3.503.714.034.605.849.930.992.372.462.572.783.184.300.951.081.091.111.141.201.320.68765432vtp0.990.950.682.582.862.983.253.361.962.092.152.262.3111.031.041.061.07191498vtpB类评定p0.5000.6830.9000.9500.9550.9900.997kp0.67511.651.9622.583仪器名称米尺千分尺物理天平秒表游标卡尺误差分布正态分布正态分布正态分布正态分布均匀分布C3333p=68.3%正态分布均匀分布三角分布总不确定度的合成注意：A、B类不确定度的合成时，两者概率需一致。测量结果写成：p=68.3%相对不确定度更能反映测量的准确度。不同概率下的不确定度间接测量结果不确定度的估算将不确定度看成测量值的微小变化。dN写成UN，dx写成Ux间接测量结果不确定度的估算算术合成绝对不确定度传递公式：相对不确定度传递公式：可能的最大偏差间接测量量不确定度的估算几何合成绝对不确定度传递公式：相对不确定度传递公式：传递时可能出现部分抵消不确定度均分原则在间接测量中，各个直接物理测量值的不确定度都会对总的合成不确定度产生影响。如果已知各测量量的函数关系，可先写出不确定度传递公式，再按不确定度均分原理，确定各个物理测量值的不确定度大小，合理选择不同精度的实验仪器和采用适当的实验方法。不确定度均分原则有效数字实验过程中记录应记几位数字？实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？？？3.05cm0.0305m有效数字数字后的“0”为有效数字2.10cm测量结果的有效数字测量不确定度首位逢1，2保留两位，其他保留一位有效数字。对不保留数字一律“只进不舍”。测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。通常“小于5则舍”，“大于5则入”，“等于5则凑偶”即前一位为奇数则进（奇进），以成偶数；若前一位为偶数则舍（偶舍）。如：测量结果平均值为2.1455cm，其标准不确定度计算为0.0124cm，则测量结果为2.146±0.013cm科学记数法测量结果平均值为321000m,其标准不确定度计算为1000m,则结果如何表示？为计算的方便，对较大或较小的数值，常用×10±n的形式来书写（n为正整数），通常在小数点前面只写一位数字。如：321000±1000m采用科学记数为0.0001560±0.0000001m＝有效数字位数越多－相对误差越小，准确度越大。？（3.210±0.010）×105m（1.560±0.001）×10-4m有效数字的运算（求测量结果）加减法则：加减运算所得结果的最后一位，保留到所有参加运算的数中末位数数量级最大的那一位为止。例：结果：

20271.32-0.8+6.3+271=347.82结果：348217-14.8=202.2有效数字的运算（求测量结果）乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中有效数字位数最少的那一项相同。特殊情况：乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，若首位是“8”或“9”时，计算结果可以多取一位。31.522.1=66.192结果：66799×6.5=5193.5结果：结果:有效数字的运算（求测量结果）综合运算：根据运算法则，先“乘、除”后“加、减”的法则。有效数字的运算（求测量结果）平均值的有效数字：计算重复测量次数超过四次的测量值的平均值，当表示测量结果时，取与测量值一样的位数；如果作为其他计算的中间过程量时，可多取一位有效数字。例如，测量某实验数据得3.50cm，3.51cm，3.52cm，3.54cm，3.49cm，它们的平均值的最后表示为：3.51cm；若作为其他计算的中间过程量时，则多取一位，即为3.512cm。有效数字的运算无理数运算法则：取无理数的位数比参与运算中有效数字位数最少的那一位多一位(其中，常数不参与有效数字的运算)。常数计算中涉及到常数π或e以及非测量值,如自然数、分数时,不考虑其有效数字的位数,视为准确数值。基本物理常数：在人类探索自然界物质运动基本规律的历史过程中发现和确定的物理基本常量。它们不随时间，地点的改变而变化。基本物理基本物理常数共有30多个，加上其组合量则有40～50个。很多常数的测量准确度已达10-6量级，更高的可达10-8～10-10量级。物理学基本常数物理学基本常数有效数字的运算（求不确定度）从直接测量量的不确定度求间接测量量的不确定度时，其有效数字的运算除了常数和无理数的有效数字与求测量结果时的运算相同，其他过程中则完全不同。求不确定度时，在计算过程中算出来几位就几位，只有到最后一步≈的时候再按（逢1逢2两位，其余保留一位，只进不舍的原则）进行处理。如：A=2.30±0.03，B=5.00±0.15，则N=AB的不确定度UN=2.30*0.15+5.00*0.03=0.345+0.15=0.495≈0.5分步求不确定度时的有效数字通常发生直接测量量的不确定度需要用公式算出来的时候。此时，若求间接测量量的不确定度，整个公式会很长，常采用分步计算的方法。还可能发生在求某一个测量量的总不确定度U0的时候。如总不确定度需要UA和UB合成，UA又需要从贝塞尔公式求测量列标准偏差，再求平均值标准误差。有些同学一步走把所有的公式合在一起再代入计算，有些同学喜欢分步把这些值都求出来。分步计算的每一步都得到一