数值分析考试卷及详细答案解答文档

武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A卷）备注:半开卷（可带一页手写A4纸，左上角写姓名，不得带复印件）,不得在试题纸上答题一.简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）223551.将和作为3.14159265358979L的近似值，它们各有几位有效数字，7113绝对误差和相对误差分别是多少2.已知fxx8x532，求f30,3,1L,38，f30,3,1L,3.91f()xdxAf(0)Af(1)Af(0)中的待定系数，使其0123.确定求积公式0代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。1014.求矩阵A010的谱半径。202100995.设Ap,计算A的条件数condA,P2,.9998二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）1.求满足条件H(0)1,H(0),1H(1)2,H(1)2.的插值多项式H()x.232.已知f12,f11,f21，求fx的Lagrange插值多项式。3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合xi01122435yi

20x2x3x24123T4.用Jacobi迭代法求解方程组x8xx12，取初值x00,0,0，1232x3x15x30312计算迭代二次的(x,y,z)值；（2分）问Jacobi迭代法是否收敛为什么（2分）若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于106ln(3106)（提示：13.57）（5分）ln3问Gauss-Seidel迭代法是否收敛为什么（1分）yxy2在0,1.5上的数值解，取h0.5，5.用欧拉法求解初值问题y02计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）21.设Axb，其中ARnn为非奇异矩阵，证明condAAcondA2T22.证明向量X的范数满足不等式XXnx2四.证明（10分）对于给定的正数a,应用牛顿法于方程f()x1a0，写出牛顿迭代格式；x证明当初值满足0x2时，该迭代法收敛。a0

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A）任课教师：一.简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）223551.将和作为3.14159265358979L的近似值，它们各有几位有效数字，7113绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知fxx8x532，求f30,3,1L,3，f30,3,1L,3.89

(5分）3.确定求积公式0精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。1f(x)dxAf(0)Af(1)Af(0)中的待定系数，使其代数012解：要使其代数精度尽可能的高，只需令f(x)1,x,Lxm,L使积分公式对尽可能大的正整数m准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即m2。由f(x)1数值积分准确成立得：AA101由f(x)x数值积分准确成立得：AA1/212由f(x)x2数值积分准确成立得：A1/31解得A1/3,A1/6,A2/3.(3分）120此时，取f(x)x3积分准确值为1/4,而数值积分为A1/31/4,所以该求积1公式的最高代数精度为2次。(2分）1014.求矩阵A010的谱半径。202

101IA01013解2020,1,3矩阵A的特征值为123Amax0,1,33(5分）所以谱半径100995.设A,计算A的条件数condA,P2,.9998p9899-9899A99-100A*解：A*A199100矩阵A的较大特征值为，较小的特征值为，则cond()AAA1198.00505035/0.0050503539206(2分）222cond()AAA1199199396013分）(二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）1.求作满足条件H(0)1,H(0),1H(1)2,H(1)2.的插值多项式H()x.2解：根据三次Hermite插值多项式：3xxxx0xxxxxxxx1H()(x12)(1)2y(12)(0)2yxxxx10103015分）(0101(xx)(xx1)2y(xx)(xx0)2yxxxx00110110并依条件H(0)1,H(0),1H(1)2,H(1)2.，得2H()(x12x)(x1)22(32x)x21x(x1)22(x1)x2235分）(11322xx12.已知f12,f11,f21，求fx的Lagrange插值多项式。

解：注意到：x1,x1,x2;012y2,y1,y1012l(xx)(xx)(x1)(x2)12(xx)(xx)600102l(xx)(xx)(x1)(x2)02(xx)(xx)211012l(xx)()(xxx1)(x1)01(xx)(xx)322021(x1)(x2)2(x1)(x2)(1x1)(x1)1623nL()xylx2jjj01x3x826.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合xy01122435ii解:P(x)aax01mmma(x)ayi0i15分）(i1i1mmm(x)a(x)axyii2i0i1i1i1i14a6a12016a14a2501a0.9,a1.4，P(x)0.91.4x5分）(0120x2x3x24123T4.用Jacobi迭代法求解方程组x8xx12，取初值x00,0,0，计算迭1232x3x15x30312代二次的值；（2分）

问Jacobi迭代法是否收敛为什么（2分）若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于106（提示：ln(3106)13.57）（5分）ln3问Gauss-Seidel迭代法是否收敛为什么（1分）解：先将方程组化成便于迭代的形式，以20,8,15分别除以三个方程两边得x1x3x613010205102011231331xxx，迭代矩阵B0,8828821321231515xxx20155332由于||B||1q1,或者因为原方程组系数矩阵严格对角占优，故Jacobi迭代法收敛、且3Gauss-Seidel迭代法收敛。(1||B||)ln||x(1)x(0)||及||x(1)x(0)||vvqvvk由||x*x||||xx(0)||得公式K(k)(1)1qln||B||106(11)32ln13ln(1106)ln可得Kln(3106)13.57ln33ln13所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于106.yxy25.用欧拉法解初值问题在0,1.5上的数值解，取h0.5，计算过程保y02留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分）

解：欧拉法的公式为k1k1yxyyhfx,yyhxyk1,2,3,4（4分）2k1，kkk1k1k1已知x0，y200y0.5y20.502421y1y40.50.5411.7522y1.5y11.750.5111.7580.28125（6分）23三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）21.设Axb，其中ARnn为非奇异矩阵，证明condAAcondA2T2证明：(AAT)(TAT)TgATAATAAT为对称矩阵对于任意给定的非零列向量,都有TgATAg(A)(TgA)b20所以ATA为正定矩阵,AAT也为正定矩阵所以AAT为对称正定矩阵.cond(ATA)ATA(ATA)1(AA)[(ATA)1]T222maxmax(ATA)g[(ATA)1]maxmax又由于A(ATA),A1[(ATA)1]22cond[(A)]2(AA1)(ATA)[(gATA)1]22maxmax22所以cond(ATA)cond[(A)]2（5分）222.证明向量X的范数满足不等式XXnx2X2maxxx2nX2nxX证明：设是向量的分量，则2，jiiii1所以由向量范数的概念可知，结论成立.（5分）

四.证明（10分）对于给定的正数a,应用牛顿法于方程f(x)1a0，写出牛顿迭代格式；x证明当初值满足0x2时，该迭代法收敛。a0证：因为f'()x1，故牛顿迭代格式为x21axxf(x)xxkx(2ax),k0,1,2,L（5分）1f'()xk1kkkkx2k下证明其收敛性。k记第步的误差为ex*x和构造rae，k0,1,L，kkkk则有a,r,x三者之间的关系为kkraea(x*x)ax*ax1ax；kkkkk而r1ax1ax(2ax)1ax(1r)k1k1kkkk(1ax)axrraxr(1ax)rr2,k0,1,L