就是激光谐振腔的自再现模课件

第2章光学谐振腔理论§2.1光学谐振腔的基本知识§2.2光学谐振腔的损耗§2.3光学谐振腔的稳定条件

§2.1光学谐振腔的基本知识2.1.1光学谐振腔的构成和分类在激活介质两端适当的放置两个反射镜，可构成最简单的光学谐振腔。由两个或多个反射镜按一定方式组合，可以构成不同种类的光学谐振腔。根据结构，性能和机理等方面的不同，谐振腔有不同的分类方式：开腔和闭腔稳定腔和非稳腔球面腔和非球面腔简单腔和复合腔驻波腔和行波腔端面反馈腔和分布反馈腔两镜腔和多镜腔

---------最简单，最常用本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔2.1.2光学谐振腔的作用（1）提供轴向光波模的光学正反馈；（2）控制振荡模式的特性。光学正反馈作用主要取决于腔镜的反射率，几何形状以及之间的组合方式。有效控制腔内实际振荡的模式数目使大量光子集中在少数几个状态中，从而提高光子简并度获得单色性和方向性好的相干光激光模式的特性由光腔结构决定，可通过改变腔参数实现对光波模特性的控制。腔的模式在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式。腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。2.1.3腔模模式：在腔内可能存在的稳定光场的本征态，包括纵模和横模。纵模：沿腔轴线方向电磁场的本征态。纵模数表示激光振荡频率数，纵模数多，单色性差。单一纵模单色性最好。横模：在腔中垂直腔轴方向的电磁场的本征态。不同的横模，光场分布不同，光束的发散角不同。基横模光强是高斯形，光场分布均匀，发散角最小。为了改善激光的方向性，必须选出基横模。

改善激光的方向性，提高单色性是实际应用的要求。模式的基本特征包括：每一种模式的电磁场分布，特别是在腔的横截面内的场分布；谐振频率；在腔内往返一次经受的相对功率损耗；相对应的激光束的发散角。

光学谐振腔理论研究目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔的结构之间的具体依赖关系。只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模式的基本特征。纵模

以平行平面腔为例说明光学谐振腔的纵模。对于平行平面腔（简称平平腔）来说，当满足条件时，可近似认为均匀平面波是它的一种本征模。式中，代表腔的横向尺寸，如圆形反射镜的半径；为谐振腔的腔长；为激光波长。利用均匀平面波讨论开腔中傍轴传播模式的谐振条件考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波和反射波将会发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。发生相长干涉的条件是：波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相（即相差是2的整数倍）。

结论：一定的谐振腔只对一定波长和一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐振。（1）式和（2）式就是平平腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。称为腔的谐振波长，称为腔的谐振频率，谐振频率是分立的。（1）（2）腔内形成稳定的驻波场，腔的光学长度为半波长的整数倍。特点：腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。通常将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。腔的两个相邻纵模频率之差与无关，只与腔长和腔内介质的折射率有关，腔长和折射率越小，纵模间隔越大。腔的两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔，简称纵模间隔。横模

稳定场经一次往返后，镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这种在腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳定场分布称为自再现模或横模。理论分析表明，经过足够多次的往返传播之后，腔内形成一种稳定场，其分布不再受衍射影响，在腔内往返一次后能够“自再现”出发时的场分布。激光的横模，实际上就是谐振腔所允许的（在腔内往返传播，能保持相对稳定不变的）光场的各种横向稳定分布。孔阑传输线

为了更形象的理解开腔中自再现模的形成过程，用光波在孔阑传输线中的传播来模拟光波在平行平面腔中的往返传播过程。不同的横模用横模序数m，n描述。对于方形镜谐振腔，m，n分别表示腔镜面直角坐标系的水平和垂直坐标轴的光场节点数。对于圆形镜谐振腔，m，n分别表示腔镜面极坐标的角向和径向的光场节线数。一个激光模对应三个独立的模序数，用符号表示。§2.2光学谐振腔的损耗光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标，决定了激光振荡的阈值和激光的输出能量。损耗类型：1、几何损耗2、衍射损耗3、输出腔镜的透射损耗4、非激活吸收，散射等其他损耗2.2.1光腔的损耗及其描述光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。取决于腔的类型和几何尺寸几何损耗的高低依模式的不同而异，高阶横模损耗大于低阶横模损耗是非稳腔的主要损耗1、几何损耗

腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上发生衍射时形成的损耗与腔的菲涅尔数（）有关，N愈大，损耗愈小（a:腔镜半径）与腔的几何参数有关与横模阶次有关2、衍射损耗通常稳定腔至少有一个反射镜是部分透射，以获得必要的输出耦合。这部分有用损耗称为光腔的透射损耗，它与输出镜的透射率有关。3、输出腔镜的透射损耗这类损耗是因为激光通过谐振腔的反射镜以及其中所有光学元件时，发生非激活吸收，散射等而引起的，也称为内损耗。4、非激活吸收，散射等其他损耗几何损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体一样。平均单程损耗因子不论损耗的起源如何，均可用“平均单程损耗因子”（简称单程损耗因子）来定量描述。

的定义：光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数。初始光强为，在无源腔内往返一次后，光强衰减为，光强的平均衰减百分数为平均单程损耗因子为损耗参数：当损耗很小时，<<1另一种指数定义形式：如果初始光强为I0，在无源腔内往返一周后光强衰减到I1，则------两种定义形式是一致的。每种因素引起的单程损耗因子用i来表示，则总的单程损耗是=∑i

。一、谐振腔失调时的几何损耗设光线在腔内往返m次后逸出腔外，则有式中，D为平平腔镜面的横向尺寸（反射镜的直径）。由于光在腔内经过m次往返后逸出腔外，因此往返一次的损耗为1/m，可得相应的单程损耗为二、衍射损耗

按照单程损耗因子的定义，相应的单程衍射损耗应为射到圆孔之外的光能与到达第二个孔的总能量之比。式中，为衍射角，根据夫琅和费衍射公式，式中

N为菲涅耳数，它是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最大往返次数。三、透射损耗以r1和r2分别表示腔的两个镜面的反射率，则初始光强为I0的光在腔内往返一周经两个镜面反射后，其强度I1应为按的定义，四、吸收损耗谐振腔的品质因数平均单程损耗因子腔内光子的平均寿命描述谐振腔损耗的参数：2.2.2光子在腔内的平均寿命光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数为将代入上式，得解得式中-------腔的时间常数（也称为腔的寿命）的物理意义：经过时间后，腔内的光强衰减为初始值的1/e。愈大，愈小腔的损耗愈大，腔内光强衰减愈快。求证：腔的时间常数等于光子在腔内的平均寿命设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时刻光子数密度腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。损耗愈小，Q值愈大，光腔的储能性愈好，腔内光子寿命愈长。2.2.3无源腔的品质因数Q平均单程损耗因子光子在腔内的平均寿命R无源谐振腔的品质因数Q小结：三者之间的关系：§2.3光学谐振腔的稳定条件若光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外，将这种谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。利用矩阵光学分析方法，讨论共轴球面腔中光线往返传播的规律。谐振腔的稳定性条件2.3.1光线传播的矩阵表示一、光线矩阵列阵称为光线在某一截面处的光线矩阵。二、光线变换矩阵称为该光学系统的光线变换矩阵，它描述了光学系统对傍轴光线的变换作用。推导一些光学系统的光线变换矩阵：1.一段自由空间的光线变换矩阵三、光线在腔内往返传播的矩阵1.往返传播一次的光线变换矩阵3.往返传播n次的光线变换矩阵2.3.2共轴球面腔的稳定性条件谐振腔的稳定性条件为：满足条件：的谐振腔为非稳腔。临界腔的判定条件为：2.3.3稳区图

由坐标轴，和双曲线的两支围城的区域属于腔的稳定工作区域。作业2：由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为2m，凹面镜曲率半径为3m，腔长L为1m，腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔，临界腔，非稳腔）？作业1：试利用往返矩阵证明共焦腔(腔的中心为两个镜面的公共焦点,)为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。52第二章光学谐振腔理论2.4谐振腔的衍射积分理论2.5平行平面腔的自再现模2.6对称共焦腔的自再现模53

谐振腔的几何光学理论利用“光线”概念描述腔内光的传播，推导出了谐振腔的稳定性条件。但要定量描述腔内辐射场的振幅和相位分布以及无源开腔的其他一些主要特征，必须用更为严格的衍射理论进行讨论。2.4谐振腔的衍射积分理论本节从菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式出发，建立谐振腔自再现模满足的积分方程，并讨论该方程解的物理意义。542.4.1菲涅尔-基尔霍夫衍射积分波前上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。

惠更斯－菲涅耳原理（光的衍射理论基础）利用基尔霍夫积分定理，并作菲涅尔近似处理，可得到该原理的严格数学表达式，即菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式。该积分公式表明，如果知道光波场在任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在其他任意位置处的振幅和相位分布。55已知空间某一曲面S上光波场的振幅和相位分布函数，求它在空间任一观察点P处产生的光场分布。

一.菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式为波矢的模，：源点与观察点之间的距离；：源点处的波面法线与上述连线的夹角；

：源点处的面元，积分沿整个S面进行。

56二.衍射积分公式在谐振腔中的应用经过j次渡越后生成的场与产生它的场之间应满足类似的迭代关系：对于一般谐振腔而言，通常满足和57自再现模概念特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。2.4.2自再现模满足的积分方程式58

考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，应能够将再现出来，两者之间应有关系：

59602.4.3积分方程解的物理意义一个本征函数就描述腔的一个自再现模或横模。本征函数一般为复函数，其模描述开腔镜面上光场的振幅分布，辐角则描述镜面上光场的相位分布。61

损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用表示。定义为单程损耗、单程相移和本征值本征值的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为（由于）622.5平行平面腔的自再现模平行平面腔的优点：光束方向性极好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模；平行平面腔的缺点：调整精度要求极高，损耗也较大；平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解。632.5.1平行平面腔的模式积分方程64652.5.2平行平面腔的数值迭代解法首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将它代入上式，计算u2、u3、u4等。如此反复运算经过足够多次后，判断能否满足下述关系式66便是自再现模积分方程式的本征函数，也是腔的自再现模或横模。和的比值即是相应的本征值。67腔的具体数据：68随N的增大而减小。对于同一N值，随模阶次的增大而增大，其中基模的最低。692.6对称共焦腔的自再现模当构成谐振腔的两个球面镜的曲率半径相等且等于腔长时，两个镜面的焦点重合且位于腔的中心。这类谐振腔称为对称共焦谐振腔，简称共焦腔。70方形镜面共焦腔模式积分方程的解析解

(1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：2.6.1方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解71一.振幅分布:令,则有图(3-5