工程力学第八章圆轴的扭转课件

实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆；机械中的传动轴等。传动轴8.1扭转的概念与实例研究对象：

圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:

SMx=0变形特征：相对扭转角

fABxyz0M0M变形前变形后fAB本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。8.2扭矩与扭矩图扭矩：MT是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：

M0M0假想切面外力偶

M0内力偶

MT由平衡方程：

取右边部分MT

和MT

是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。TM0M0假想切面取左边部分平衡外力偶

M0

扭矩

MT扭矩外力偶

平衡MTM0扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负M0MTM0MT正nnmT

（+）mnnT（+）

上述截面的内力（扭矩）为正值扭矩图：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基线，用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称为扭矩图xT+–[例8-1]、作图示圆轴的扭矩图2mxmx3mxABC解：由于AB、BC两段的扭矩不同，所以要分段计算（1）计算AB段的扭矩1用假想的1截面将轴切开，取左段为隔离体根据平衡条件求得：

TAB=2mx112mxTAB

（2）计算BC段的扭矩2用假想截面2将圆轴切开，取左段或右段为隔离体，根据平衡条件求得：

TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3）作扭矩图xTABC2mxmx+–[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图ABC解：1）计算外力矩齿轮B输入的功率分别传递到轮A、C上，每个轮所消耗的功率为：PK/2mAmBmC

2）计算AB段内力根据平衡条件，可求得：

TAB=mA=74NmmAATABmAmBABTBC

3）计算BC段内力根据平衡条件，求得：

TBC=mA-mB=-74Nm

4）扭矩图xTABC7474+–mAmBmC

[例8-3]

一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。解：1.

计算作用在各轮上的外力偶矩2.

计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的3.

作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？15.94.786.374.785kN5kN3kNN图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。FN图（轴力）

按右手法确定+向xoCABMT图讨论：试作扭矩图2010MT图

按右手法确定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010MT图

按右手法确定+向ABCD208.3圆轴扭转时的应力与变形8.3.1.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)圆轴扭转实验现象：横向：圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转动纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。1.变形几何条件g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf

,故有：df/dx,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgMTg1.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。剪应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角df

/dx成正比。即得变形几何条件为：--(1)同样有：

CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfMTgrgr2.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。单位GPa--(2)半径为r处的剪应力则为：圆轴扭转时无正应力1GOtg1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。--(3)dxOCDABrrCDdfMTgrgrtrMTotrrtmax最大剪应力在圆轴表面处。扭转截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。3.力的平衡关系应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：--(3)利用(3)式，得到：trMTotrrtmaxdA3.力的平衡关系令：最后得到：--(4)Ir

称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。tmax在圆轴表面处，且WT=IP

/r，称为抗扭截面模量。求IP，WT?trMTotrrtmax8.3.2

圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积

dA=2prdr,则有：rdrdA极惯性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：

16/)1()2//(43apP-==DDIWTa=d/D极惯性矩：抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do极惯性矩:抗扭截面模量:a=d/D=0研究思路：变形几何条件dx---(1)d/jrg=+材料物理关系dxdGGjrgtrr==---(2)静力平衡关系+TAMdAdxdG=ò2rj---(3)圆轴扭转剪应力公式：PrrtIMT=---(4)且由(2)、(4)可知单位扭转角为：PjGIMdxdT//=---(5)结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）

截面任一处截面外圆周处（表面）

tP=MTr/IP

tmax=MT/WT

dDo空心圆轴实心圆轴DoMTtrtmaxMTtrtmax讨论：2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?

1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?

若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oMToMToMToMT8.3.3扭转圆轴任一点的应力状态

MTdxMTttdxcAdyttt′t′研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。

AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0

t=t剪应力互等定理：

物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。

dxcAdyttt′t′纯剪应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。纯剪应力状态:

微元各面只有剪应力作用。

45斜截面上的应力：

t45dxct45s45ttdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0还有：s-45=t；t-45=0

tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面ef

(如图)上的应力。斜截面上的应力分离体上作用力的平衡方程为利用t=t'，经整理得由此可知：

(1)单元体的四个侧面(a

=0°和a

=90°)上切应力的绝对值最大；

(2)

a=-45°和a=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；，如图所示。低碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束低碳钢扭转破坏断口铸铁扭转破坏试验过程铸铁扭转破坏断口思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？

例题8-4

实心圆截面轴Ⅰ(图a)和空心圆截面轴Ⅱ(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。解：由t1,max=t2,max，并将a＝0.8代入得两轴的重量比即为其横截面面积之比：空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。Ⅳ.

强度条件此处[t]为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即

铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。

[例8-5]

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的许用切应力[t]=80MPa。试校核该轴的强度。BC段内AB段内解：1.绘扭矩图

2.求每段轴的横截面上的最大切应力3.校核强度需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。

t2,max>t1,max，但有t2,max<[t]=80MPa，故该轴满足强度条件。Ⅰ.扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。MeADBCMejg8.3.4

圆轴的扭转变形

当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为GI称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r解：

1.各段轴的横截面上的扭矩：

[例8-6]

图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB

=300mm，lAC

=500mm，d=70mm，钢的切变模量G=80GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB.3.横截面C相对于B的扭转角：2.

各段轴的两个端面间的相对扭转角：[例8-7]

空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.mMc=100N.m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100MT/N.mAB段：N-mm-Mpa单位制N-mm-Mpa单位制故tmax=86.7Mpa3)计算扭转角ACradGIlMGIlMBCBCTBCABABTABAC183.0=+=rrjBC段：N-mm-Mpa单位制ABC150100MT/N.m

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAⅡ.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[q]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[q]≈2

(°)/m。解:1.按强度条件求所需外直径D

[例8-8]

由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力[t]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax

=9.56kN·m，轴的许可单位长度扭转角[q]=0.3(°)/m。试选择轴的直径。2.按刚度条件求所需外直径D3.空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a=d/D=0.5知§8-5

扭转静不定问题

[例8-9]

两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a)

解:

1.

有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次静不定问题。