基本不等式实际应用题公开课课件

利用基本不等式解应用题适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0注意基本不等式的变形复习回顾（1）面积为36m2

的矩形中，它们的周长最小？（2）周长为36m的矩形中，那个矩形的面积积最大？ab=∴当且仅当a=b=6时，a+b最小为12∵∴当且仅当a=b=9时，ab最大为81【探究一】解：设矩形的长为am，宽为bm，已知a+b=18，求ab的最大值已知ab=36,求2（a+b）的最小值，即求a+b的最小值若ab=p若a+b=s36∴当且仅当a=b时，a+b最小值为∴当且仅当a=b时，ab最大为

p①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意哪些条件？若a>0,b>0,P,S

是常数.则有：(1)ab=P

a+b≥2P(2)a+b=S

ab≤S214(当且仅当

a=b时,取“=”号).(当且仅当

a=b时,取“=”号).例1：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？100解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100篱笆的周长C=2（x+y）当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m=40例1（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36即x+y=18∴=81当且仅当x=y=9时取等号∴当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81m2xy面积s=xy变式1，一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？18m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则x+2y=36xy菜园的面积为s=xy=·X·2y=162当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为18m，宽为9m时，面积最大，最大为162此时x=18，y=9变式2，一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？12m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则x+2y=36xy菜园的面积为s=xy=·X·2y=162当且仅当x=2y时取等号即当矩形菜园的长为18m，宽为9m时，面积最大，最大为162此时x=18，y=9变式2，一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？12m解：设菜园的长和宽分别为xm，ym则x+2y=36xy菜园的面积为s=xyS=X（18-X）∴y=18–X（0<x≤12）对称轴x=18，函数在（0,12]上为增函数解决实际问题的步骤：（1）正确理解题意，设变量时，一般可把欲求最大（小）值的变量视为函数；（2）建立有关函数关系（目标函数），把实际问题转化为求目标函数的最大（小）值问题；（3）在允许范围内，求出最大（小）值；（4）根据实际问题写出答案。例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，(1)怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？3解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即

当且仅当x=y,即x=y=40时,等号成立所以,将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.解：设底面的长为xm，宽为m，水池总造价为z元，根据题意有z=150×1600+120（2×3x+2×3）=240000+720（x+）≥240000+720×=297600当且仅当x=，即x=40时，“=”成立；所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．(X>0)例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，(1)怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？(2)若受条件限制,水池的长不能超25米,怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？3设底面的长为xm，宽为m，水池总造价为z元，根据题意有z=150×1600+120（2×3x+2×3）=240000+720（x+）≥240000+720×2=297600当且仅当x=，即x=40时，“=”成立；(0<x≤25)设底面的长为xm，宽为m，水池总造价为z元，根据题意有z=150×1600+120（2×3x+2×3）=240000+720（x+）∵y=x+在（0,25]上为减函数∴ymin=25+1600/25=89Zmin=240000+720╳89=304080

∴当水池的长为25，宽为64米时，水池总造价为304080元(0<x≤25)练习(1),已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？设三角形的两条直角边为x、y解：则s=∴xy=100∴当且仅当x=y=10时取等号∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20练习（2）用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=20即x+y=10∴=25当且仅当x=y=5时取等号∴当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25xy练习3、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养路费，汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，则这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用年平均费用最少，汽车的平均费用为万元。则：汽车使用年总的维修费用是万元。

且

整理得：当且仅当，即＝10时，＝3。

答：汽车使用10年平均费用最少。解：设使用年平均费用最少，汽车的平均费用为万元。则：汽车使用年总的维修费用是万元。

且

整理得：当且仅当