最短路径问题

最短路径问题

ShortestPathProblemPractice1.MultipleChoiceQuestions(4questionsintotal)1.(2016AutumnFangshanDistrictFinalExam)IntheisoscelestriangleABCshowninthefigure,thelengthofthebaseBCis4,andtheareais16.TheperpendicularbisectorsofthelegsACintersectACandABatpointsEandF,respectively.IfDisthemidpointofBCandMisamovingpointonthesegmentEF,thentheminimumperimeteroftriangleCDMis()A.6B.8C.10D.122.(2015AutumnTongzhouDistrictFinalExam)IntriangleABCshowninthefigure,∠ABC=60°,BC=6,andCDisoneofthealtitudesoftriangleABC.IfEandFaremovingpointsonCDandBC,respectively,thentheminimumvalueofBE+EFis()A.6B.3C.3D.33.(2014AutumnChangpingDistrictFinalExam)IntheequilateraltriangleABCshowninthefigure,thesidelengthis6,EisapointonAC,ADisthemedianofBC,andPisamovingpointonAD.IfAE=2,thentheminimumvalueofEP+CPis()A.2B.3C.4D.54.(2011AutumnDongchengDistrictFinalExam)Inthefigure,∠AOBisα,Pisafixedpointinside∠AOB,OP=2,andEandFaremovingpointsonOAandOB,respectively.IftheminimumperimeteroftrianglePEFis2,thenα=()A.30°B.45°C.60°D.90°2.Fill-in-the-blankQuestions(5questionsintotal)5.(2016AutumnMentougouDistrictFinalExam)Inthefigure,∠AOB=45°,Pisapointinside∠AOB,PO=10,andQandRaremovingpointsonOAandOB,respectively.TheminimumperimeteroftrianglePQRis_____.6.(2014SpringHaidianDistrictFinalExam)InparallelogramABCDshowninthefigure,EisthemidpointofAB,BFbisects∠ABCandintersectsADatF,∠ABC=60°,andAB=4.TheminimumvalueofPE+PAis_____.7.(2011AutumnChangpingDistrictFinalExam)Inthefigure,∠AOB=30°,Pisapointinside∠AOB,OP=6,P1issymmetrictoPwithrespecttoOB,andP2issymmetrictoPwithrespecttoOA.TheperimeteroftriangleP1OP2is_____,andtheminimumperimeteroftrianglePMN,whereMisamovingpointonOAandNisamovingpointonOB,is_____.8.(2011AutumnHaidianDistrictFinalExam)GivenpointsA(-2,3)andB(3,2),Cisamovingpointonthex-axis.WhenthevalueofAC+BCisminimum,thecoordinatesofpointCare_____.9.(2010AutumnDongchengDistrictFinalExam)Inthefigureshown,∠MON=40°,Pisapointinside∠MON,AisapointonOM,andBisapointonON.WhentheperimeteroftrianglePABisminimum,thedegreemeasureof∠APBis_____.3.ShortAnswerQuestions(15questionsintotal)10.(2014DongchengDistrictSecondMockExam)Wehavelearnedtheknowledgeof"theshortestdistancebetweentwopoints".Itisoftenusedtosolverelatedproblemsofminimizingthesumoftwolinesegments.Thefollowingisaveryfamiliarexerciseforeveryone:已知在直线l的同一侧有点A、B，要在l上确定一点P，使得PA+PB最小。我们可以作点B关于l的对称点B'，因为PB=PB'，所以求AP+PB最小等价于求AP+PB'最小。显然当A、P、B'在一条直线上时，AP+PB'最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P。类似的方法可以用于解决其他问题。探究：1.在正方形ABCD中，边长为2，E为BC的中点，P是BD上的一动点。连接EP、CP，则EP+CP的最小值是多少？2.在锐角△MON内部任意取一点A，在OM、ON上各取一点B、C，组成△ABC，使得△ABC的周长最小。3.在平面直角坐标系中，已知两点A(6,4)、B(4,6)，在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小。求点C、D的坐标。11.在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。要使所用的输气管线最短，泵站应该修建在管道的什么地方？请在图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹。12.在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4。在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小。在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请在图中确定点E、F的位置。13.已知AB=8，AC=4，BE=2，D为AB上一动点，分别过点A、B作CA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B，联结CD、DE。求点D满足什么条件时，CD+DE的值最小，并用含x的代数式表示CD+DE的长。解：由于CD和DE都是线段，所以CD+DE的值最小，当且仅当CD和DE在同一直线上，即点D在AB线段的中垂线上。设AD=x，则BD=8-x。由于三角形ACD和BDE都是直角三角形，所以CD=sqrt(x^2+4^2)，DE=sqrt((8-x)^2+2^2)。因此，CD+DE=sqrt(x^2+16)+sqrt(x^2-16x+68)。为了求出CD+DE的最小值，我们可以对其求导数，令其等于0，解得x=2。代入CD+DE的式子，得到CD+DE的最小值为2sqrt(17)+2sqrt(13)。14.如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小。参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D。若CP=1，PD=2，AC=1，求AP+BP的值。解：作A′B与l的交点为P′，则A′P′=AP，BP′=BP，且A′P′+BP′=A′B。又因为A′B是l的对称轴，所以P′D=PD=2，AC=1，BD=BP′-PD=BP-2，所以BP′=BD+PD=BP-2+2=BP。因此，A′P′+BP′=A′B=AB=AP+BP，即AP+BP的值为2。（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，求AP+BP的值。解：同样作A′B与l的交点为P′，则A′P′=AP，BP′=BP，且A′P′+BP′=A′B。又因为A′B是l的对称轴，所以P′D=PD=2，BD=BP′-PD=BP-2，AC=A′C+CP=A′C+1，所以A′C=AC-1=3-BD。因此，A′B=sqrt((3-BD)^2+(8-BD)^2)，即A′P′+BP′=sqrt((3-BD)^2+(8-BD)^2)+BP。为了求出AP+BP的最小值，我们可以对其求导数，令其等于0