建筑力学与结构选型第8章-超静定结构的内力分析课件

8.1超静定结构及其超静定次数8.2力法的基本原理与方法8.3对称结构8.4平面框架和连续梁的受力变形特点8.5超静定结构的一般特性第8章超静定结构内力分析8.1超静定结构及其超静定次数

8.1.1概述1、超静定结构—

有多余约束的结构由于存在多余约束，因而全部反力和内力不能由静力平衡条件唯一确定。ABDClll平面超静定杆系结构的类型8.1.2超静定次数2、结构超静定次数的判定方法——解除多余约束法

1、超静定次数=结构的多余约束数目FpX1Fp对同一超静定结构，超静定次数是确定的，但去除多余约束的方案不是唯一的X1——多余约束反力3、去掉多余约束的情况

（1）去掉一根支杆相当于解除一个约束；

（2）去掉一个固定铰支座相当于解除两个约束；

（3）去掉一个固定支座相当于解除三个约束；（4）将固定支座改为固定铰支座相当于解除一个约束。

解除支座约束的情况（1）切断一根链杆相当于解除一个约束；（2）去掉一个单铰相当于解除两个约束；（3）切断一根梁式杆件相当于解除三个约束；（4）将梁式杆件中某截面改成铰结相当于解除一个约束。

解除中间约束的情况8.2力法的基本原理与方法

8.2.1力法的基本原理

去掉B支座支杆有多余未知力的基本结构EIA静定结构X1AΔ11qAΔ1pX1qA基本体系X1qB变形协调qlEIAB原超静定结构基本结构——将超静定结构转化为静定结构变形协调条件：Δ1=ΔB=0力法方程：力法基本未知量：多余约束力力法基本方程：利用基本体系的变形状态与原结构一致的条件所建立的确定多余未知力的方程

力法基本结构：原结构去掉多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构

力法基本体系：受到多余未知力和荷载共同作用的基本结构称为力法基本体系

Δ1=Δ11+Δ1P=0δ11X1+Δ1P=0力法以超静定结构的多余约束力为基本未知量，以去掉多余约束后的静定结构为基本结构，以基本结构在原结构的荷载和多余约束力共同作用下的体系为基本体系，根据基本体系在多余约束处与原结构位移相同的条件，建立变形协调方程以求解基本未知量，从而将超静定结构的求解转化为静定结构的计算。

力法基本原理超静定结构静定结构去掉多余约束代以多余未知力X1计算多余未知力根据变形协调条件建立力法基本方程【例8-1】用力法计算图示超静定梁，并绘内力图。解法一：1、确定基本未知量X，选择基本体系。2、根据变形协调条件Δ1p=0，建立力法方程

8.2.2力法应用举例

式中，δ11和Δ1p分别为系数和自由项。δ11X1+Δ1p=0

ABqX1=13、绘M1和Mp图，计算系数δ11和自由项Δ1p4、将系数和自由项代入力法方程，求解多余未知力；5、运用叠加原理绘内力图FQ解法二：如图选择基本体系及基本未知量X。超静定结构的变形、内力和支座反力比静定结构小。比较：静定和超静定结构的变形、内力和支座反力【例8-2】

用力法计算超静定梁并绘内力图。

解：1、确定基本未知量，选择基本体系

2、根据位移协调条件建立力法方程

基本体系在B截面沿X1方向的相对转角应为零，即Δ1=0。3、计算系数和自由项

ABC4、求解多余未知力

5、绘内力图

按叠加法绘弯矩图，即：FQ(f)KN3.54.51.56.5++--FQFQ(f)KN++--M(e)KN·M1066MM(e)KN·M【例8-3】试用力法计算超静定刚架，并绘内力图。

解：1.选择基本体系2.建立力法方程4.解力法基本方程，求得基本未知量。若令可得若改变EI1与EI2的比值，多余未知力的大小会随之改变，而原结构的内力亦会改变。可见，在荷载作用下，超静定刚架的内力与各杆刚度的相对比值有关，而与各杆刚度的绝对值无关。此为超静定结构内力分布的重要特性。

5.作内力图，校核上例刚架还可以怎么取基本结构使计算简化？通常，去掉转动约束，以相应的约束力偶矩为基本未知量可使MP图和单位弯矩图的绘制简化。力法求解超静定结构内力的步骤：1、确定超静定次数、基本结构和基本体系；2、根据变形协调条件建立力法基本方程；3、依次作出基本结构在各单位多余约束和荷载单独作用下的单位弯矩图和荷载弯矩图

，计算系数和自由项。4、求解多余约束力。5、根据叠加原理做原结构内力图。6、校核。

【例8-5】超静定桁架

系数和自由项按下式计算：

各杆的最后轴力按下式计算：

例1：用力法计算图示桁架的轴力。（各杆EA相等且为常数）3)计算系数和自由项

绘

和

图。解：1)确定基本体系（如图所示）2）建立力法方程：d11X1+△1P=0（基本体系在切口两边截面沿X1方向的相对位移）4)计算多余未知力X15)作轴力图N=N1X1+NP8.3对称结构对称结构

—

结构的几何形状、支承情况、杆件的截面尺寸和材料特性均对称于某一几何轴线。8.3.1对称和反对称对称结构上作用对称荷载时

变形对称内力分布对称结构对称荷载对称对称力--

对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴对折后其作用位置和方向均相同的力；反对称力--

对称轴两边的力大小相等，将结构绕对称轴对折后其作用位置相同但方向相反的力。

对称结构上作用对称荷载时

对称荷载在对称结构中引起的反力、内力和变形均对称。变形对称轴力图对称弯矩图对称剪力图反对称内力分布对称结构对称荷载对称对称结构上作用反对称荷载时

反对称荷载在对称结构中引起的反力、内力和变形均为反对称。变形反对称轴力图反对称弯矩图反对称剪力图对称内力分布反对称结构对称荷载反对称对称结构上作用任意荷载

8.3.2对称刚架在对称荷载作用下的简化计算奇数跨刚架偶数跨刚架8.3.3对称结构在反对称荷载作用下的简化计算奇数跨刚架偶数跨刚架【例8-4】利用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。解：1）分解为对称和反对称两种情形，针对反对称加载选取基本结构

2）力法方程3）绘单位弯矩图和荷载弯矩图，计算系数和自由项4)求解方程5)作M图8.4连续梁和平面框架的受力变形特点8.4.1转动刚度和抗侧移刚度

转动刚度SAB——杆端对转动的抵抗能力数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩大小与杆件的抗弯刚度EI、杆长l以及远端约束情况有关弯矩通过结点的转动而在各杆端进行分配，分配弯矩与杆端的相对刚度成正比。转动刚度相对大者分担的弯矩也较大。

抗侧移刚度k抗侧移刚度数值上等于抵抗单位侧移而产生的剪力的大小表征了杆件抵抗相对侧移的能力与杆件的横截面抗弯刚度、杆件有效长度及约束方式有关侧向荷载作用下，同层各柱的剪力是按柱的抗侧移刚度分配的对于超静定结构，荷载按各杆件间的相对抵抗变形的能力进行分配，较“粗壮”的构件承担的荷载就多。M102ql102ql82ql82ql82qlV523ql522ql22ql523ql22ql522qlFQ图8.4.2连续梁的内力变形特点讨论：若改变各杆的EI值，连续梁的弯矩图和变形会发生什么变化注意：超静定结构在荷载作用下其内力与EI的实际值无关，而与各杆EI的相对值有关。多跨梁连续梁在各跨支座处产生负弯矩，使其变形和内力的峰值减小，整体分布较多跨静定梁均匀。超静定结构的系统可靠性高!8.4.3平面刚架的内力变形特点

讨论：内力分布与ib/ic的关系比较：三铰刚架、两铰刚架和无铰刚架的结点水平位移和转角以及弯矩分布情况增大ib/ic，梁跨中弯矩值增大，结点弯矩值减小假设：1）只计节点转角，忽略节点侧移的影响；2）忽略每层梁上的竖向荷载对其他各层的影响，即各层梁上的竖向荷载不引起其他层的转角。以结点转角为主，结点侧移可以忽略，整体呈现弯曲形式的变形。多层多跨平面框架在竖向荷载作用下的分层计算法。平面刚架在竖向荷载作用下的变形特点：注意：对柱的转动刚度和传递系数的修正(1)结点位移以侧移为主，转角可忽略（强梁弱柱尤其如此）；柱呈现剪切变形的形式，每杆均有一个反弯点。(2)各杆的弯矩图都是直线，且呈反对称形式，各杆剪力为常数。如能确定各柱反弯点的位置和反弯点处的剪力，则可求出各柱端弯矩，进而可算出梁端弯矩——反弯点法平面刚架在水平荷载作用下的变形和受力特征第一层柱的反弯点一般取为柱高2/3处

其余各层的反弯点均在该层柱高中点处

层间剪力按各柱的抗侧移刚度在楼层的各柱中进行分配

梁端弯矩由结点力矩平衡条件确定

本方法适用于：i梁/i柱≥3，即强梁弱柱型刚架。8.5超静定结构的一般特性(1)超静定结构整体可靠性较高。(2)超静定结构的内力计算除需考虑平衡条件外，还必须同时考虑变形协调条件。超静定结构的内力与材料的性质以及构件截面尺寸等有关。而静定结构的内力计算只需通过平衡条件就可确定，其内力大小与结构的材料性质及构件截面尺寸无关。(3)静定结构在非荷载因素（支座位移、温度改变、材料收缩、制造误差等）的作用下，结构只产生变形而无内力。超静定结构在承受非荷载因素作用时，由于多余约束的存在，使结构不能自由变形，在结构内部会产生自内力。实际工程中，应特别注意由于支座位移、温度改变等原因引起的超静定结构的自内力。(4)由于多余约束的存在，超静定结构的刚度一般较相应的静定结构的刚度大，因此内力和变形也较为均匀，峰值较静定结构低。本章小结超静定结构是存在多余约束的几何不变体系，将其转化为静定结构是求解超静定结构的有效途径之一，此即力法的基本思想。力法的基本体系是由超静定结构过渡到静定结构的桥梁。它是将原结构的多余约束去掉代以多余约束反力的静