一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点4种题型2个易错考点中考2种考法）九年级数学 【思维导图+知识提要+能力提升】

专题04一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点4种题型2个易错考点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：因式分解法（重难点）知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）【方法二】实例探索法题型1：利用因式分解法解一元二次方程（1）利用提公因式法（2）利用平方差公式（3）利用完全平方公式（4）十字相乘法因式分解题型2：选择合适的方法解一元二次方程题型3：一题多解——解一元二次方程题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值【方法三】差异对比法易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：解一元二次方程与三角形综合【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：因式分解法（重难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）例1.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【方法二】实例探索法题型1：利用因式分解法解一元二次方程利用提公因式法例2.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．例3.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．（2）利用平方差公式例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例5.解关于的一元二次方程：．（3）利用完全平方公式例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；十字相乘法因式分解例7.用合适的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；题型2：选择合适的方法解一元二次方程例8.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．例9.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．题型3：一题多解——解一元二次方程例10.（2022秋•昆都仑区期末）解方程：x2+2x＝3．（用两种方法解方程）题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值例11.方程的解相同，求的值．例12.已知方程有共同的根是，求a的值．【方法三】差异对比法易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。例13.解关于的方程：（1）；（2）（3）． 易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错例14.如果，请你求出的值．【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣42．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或63．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．5．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为．6．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．7．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：ab，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．考法2：解一元二次方程与三角形综合8．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或9．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为．10．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（

）A．或 B．或 C．或 D．2．（2022·江苏·九年级假期作业）已知，则的值为（）A．0 B．4 C．4或 D．3．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程）最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）方程的解是（

）A． B．C． D．5．（2011秋·江苏·九年级统考期中）已知，，且，则的值为（）A．4 B． C．或1 D．或4二、填空题6．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．7．（2022秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知关于x的方程（a、m、p为常数，）的解是，，那么方程的解为____．8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．9．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．10．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．11．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．12．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．三、解答题13．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）解方程．(1)；(2)．14．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程(1)(2)(3)15．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）解方程：(1)(2)16．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）用适当的方法解一元二次方程：(1)；(2)．17．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）定义一种新的运算方式：（其中且n是整数），例如，．(1)若，求n的值；(2)记，当时，求n的取值范围．18．（2022秋·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：．19．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．20．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为（1），解得＝1，＝4．当y＝1时，＝1，∴x＝±1；当y＝4时，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根．请你用（2）中的方法求出方程的实数解．21．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．请参照例题，解方程．22．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．【例题呈现】关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是．【解法探讨】（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题：（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“”看做第一个方程中的“x”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题．【策略应用】（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法解决如下问题：已知，求出的值．23．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．仿照上述换元法解下列方程：．24．（2021秋·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）；（2）．25．（2021秋·江苏常州·九年级常州市北郊高级中学校考期中）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“转化”的思想求方程＝x的解．（3）试直接写出的解．26．（2022秋·江苏·九年级期中）【阅读材料】求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方