3最值系列之瓜豆原理

3最值系列之瓜豆原理

最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们学习了一种求解关于动点最值问题的方法——通过求出动点轨迹，可以得出关于动点的最值。本文将继续讨论另一类动点引发的最值问题。在这类问题中，题目可能会先描述动点P，但最终问题可能是关于另一点Q的。当然，P和Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点的运动轨迹并求出最值是常规思路。一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上的一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】观察动图可知，点Q的轨迹是一个圆。我们还需要确定的是此圆与圆O之间的关系。考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆的圆心，半径MQ是OP的一半。任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2。【小结】确定Q点轨迹圆即可确定其圆心与半径。由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线。由Q为AP中点可得：AM=1/2AO。Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放。根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系。引例2：如图，P是圆O上的一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP。考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】点轨迹都是圆。接下来确定圆心与半径。考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO。Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ。因此，Q点轨迹与P点轨迹成比例缩放。考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO。即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM。引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ。当P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO。考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1。即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2。二、模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”。此类问题的必要条件是两个定量：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）。BCM【分析】由于△ABC为等腰直角三角形，故AB=22√2，半圆周长为11π，点M为PC中点，故PM=BC/2=11，所以点M在以AB为直径的圆上运动．当半圆从点A运动至点B时，点M沿着圆弧从点P处运动到点Q处，且PM=QM=11，所以弧长PQ=11π/4，答案为11π/4．【思考】如果点P不在以AB为直径的半圆上，点M的运动路径会有什么变化？如何求出点M的运动路径长度？如图，点P在直线BC上运动，连接AP，取AP中点Q，求Q点轨迹。分析：因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线。如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，点P在直线BC上运动，求Q点轨迹。分析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。确定轨迹为线段后，任取两个时刻的Q点位置，连线即得Q点轨迹线段。在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是多少？分析：根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8。如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是多少？分析：根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为3:1，P点轨迹长ON为26，故B点轨迹长为22。-2x的图像上，求点C的轨迹方程．【分析】根据题目描述，点A在反比例函数y=-2x的图像上运动，连接OA并延长交图像的另一支于点B，点C满足AC=BC且在函数y=-2x的图像上运动，因此可以考虑使用瓜豆原理来确定点C的轨迹方程．取定点O(0,0)，则点A的轨迹方程为y=-2x，连接OA并延长交图像的另一支于点B，则OB垂直于y轴，且OB的长度为2倍的OA长度，即OB的坐标为(0,-4x)，则点B的坐标为(2x,-4x)．因为AC=BC，所以点C的坐标为((2x+x)/2,(-4x+2x)/2)，即(3x/2,-x)，且点C在函数y=-2x的图像上运动，因此可以得到以下方程：-2(-x)=3x/2x=0因此，点C的轨迹方程为x=0，即点C沿着y轴运动．题目：已知点在平面直角坐标系中的坐标，求其运动轨迹或形成的图形的相关问题。解题思路：通过几何图形的性质和坐标系中的关系，推导出点的运动轨迹或形成的图形，注意要根据题目要求进行计算。1.若$\tan\angleCAB=2$，则$k=8$。解析：根据题意，点$C$的轨迹是一条双曲线，连接$OC$，作$AM\perpAC$于$M$，作$CN\perpOC$于$N$，则$\triangleAMO\sim\triangleONC$，$CN=2OM$，$ON=2AM$，因此$ON\cdotCN=4AM\cdotOM$，所以$k=4\times2=8$。2.若将条件改为$\triangleABC$是等边三角形，则$k=4$。解析：当$\triangleABC$是等边三角形时，有$\angleCAB=60^\circ$，则$\tan\angleCAB=\sqrt{3}$。代入原式可得$k=4$。3.当点$P$在$\triangleABC$边上运动一周时，点$Q$的轨迹形成的封闭图形面积为$3$。解析：根据题意，连接$OP$，以$OP$为斜边在$OP$的右上方作等腰直角$\triangleOPQ$，则$\triangleOPQ$是等腰直角三角形，$Q$点运动轨迹与$P$点轨迹形状相同，且$\dfrac{OP}{OQ}=2:1$，因此$P$点轨迹图形与$Q$点轨迹图形相似比为$2:1$，故面积比为$2:1$。又因为$\triangleABC$是等边三角形，所以$\triangleABC$的面积为$\dfrac{1}{2}\times3\times4=6$，所以$Q$点轨迹形成的封闭图形面积为$3$。4.$PB$的取值范围为$[2\sqrt{2},4]$。解析：固定$AB=4$，$AC=2$，则$C$点轨迹是以$A$为圆心，$2