命题及其关系、充分条件与必要条件-知识点与题型归纳

・高考明方向

1.理解命题的概念.

2.了解“若夕，则/形式的命题的逆命题，

否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

3.理解充分条件，必要条件与充要条件的含义.

★备考知考情

常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，

考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，

命题的重点主要有两个：

一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题

的真假推断；

二是以函数，数列，不等式，立体几何中的线面关系

等为背景考查充要条件的推断，这也是历年高考命题的重

中之重.命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问

题，考查考生的逆向思维.

一，知识梳理《名师一号》P4

知识点一命题及四种命题

1,命题的概念

在数学中用语言，符号或式子表达的，可以推断真假的

陈述句叫做命题.其中推断为真的语句叫真命题，推断为

假的语句叫假命题.

留意：

’命题必需是陈述句，疑问句，祈使句，感叹句

都不是命题。

2.四种命题及其关系

⑴四种命题间的相互关系.

⑵四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关.

留意：（补充）

1,一个命题不可能同时既是真命题又是假命题

2,常见词语的否定

原词语等于（=）大于（»小于«）是

否定词语不等于（手）不大于（W）不小于（»不是

原词语都是至多有一个至多有n个或

否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且

原词语至少有一个随意两个全部的随意的

否定词语一个也没有某两个某些某个

知识点二充分条件与必要条件

1,充分条件与必要条件的概念

（1）充分条件：

pnq则"是q的充分条件

即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，

亦即要使q成立，有p成立就足够了，即有它即可。

（2）必要条件：

pnq则夕是p的必要条件

p=q=「q=＞「p

即没有q则没有p,亦即q是p成立的必需要有的

条件，即无它不可。

（补充）（3）充要条件

pnq且qnp即poq

则p,q互为充要条件（既是充分又是必要条件）

“P是q的充要条件”也说成“p等价于夕”，

“夕当且仅当p”等

（补充）2,充要关系的类型

（D充分但不必要条件

定义：若pnq,怛q/P，

则p是q的充分但不必要条件；

（2）必要但不充分条件

定义：若q=p,但.p与q、

则p是q的必要但不充分条件

（3）充要条件

定义：若且qnP，即p=q,

则p,<7互为充要条件；

(4)既不充分也不必要条件

定义：希p今q,且9»p,

则p,q互为既不充分也不必要条件.

3,推断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题

①定义法；②集合法；③逆否法(等价转换法).

逆否法一利用互为逆否的两个命题的等价性

集合法一利用集合的观点概括充分必要条件

若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合8的

形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和推

断.

(1)若4既5,则〃是的充分但不必要条件

(2)若5&A,则p是令的必要但不充分条件

(3)若A=则P是q的充要条件

(4)若且

则，是q的既不必要也不充分条件

(补充)简记作一一若A,B具有包含关系，则

(1)小范围是大范围的充分但不必要条件

(2)大范围是小范围的必要但不充分条件

1.例题分析

(-)四种命题及其相互关系

例1.⑴《名师一号》P4对点自测1

命题“若x,y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题

是()

A.若x+y是偶数，则*与y不都是偶数

B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数

C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数

D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案C

例1.(2)《名师一号》P5高频考点例1

下列命题中正确的是0

①“若存0,则。厚0”的否命题；

②“正多边形都相像”的逆命题；

③“若m>0,则R+x一机=0有实根”的逆否命题;

④“若X—3?是有理数，则x是无理数”的逆否命题.

A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④

解析：

①中否命题为“若。=0,则汕=0"，正确；

②中逆命题不正确；

③中，J=1+4/M,当机>0时，/>0,原命题正确，

故其逆否命题正确；

④中原命题正确故逆否命题正确.

答案B

留意：《名师一号》P5高频考点例1规律方法

在推断四个命题之间的关系时，

首先要分清命题的条件与结论，

再比较每个命题的条件与结论之间的关系.

要留意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为

原命题，也就相应的有了它的“逆命题”

“否命题”“逆否命题”；

判定命题为真命题时要进行推理，

判定命题为假命题时只需举出反例即可.

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.

例1.⑶《名师一号》P4对点自测2

（2014•陕西卷）原命题为“若zi,Z2互为共甄复数，则0|

=出|"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断

依次如下，正确的是。

A.真，假，真B.假，假，真

C.真，真，假D.假，假，假

解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真,

设zi=3+4i,Z2=4+3i,则有0|=3|,

但是zi与Z2不是共聊复数，所以逆命题为假，

同时否命题也为假.

留意：《名师一号》P5问题探究问题2

四种命题间关系的两条规律

（1）逆命题与否命题互为逆否命题；

互为逆否命题的两个命题同真假.

⑵当推断一个命题的真假比较困难时，

可转化为推断它的逆否命题的真假.

同时要关注“特例法”的应用.

例2.（1）（补充）

（2011山东文5）已知a,b,cGR,命题“若a+》+c=3,

则a2+b2+c2N3”的百尊题是。

(A)若a+b+cW3,贝lja1+b1+c1<3

(B)若a+b+c=3,贝lj/+〃+c2<3

(C)若a+b+c*3,则./+尸+。2》3

(D)若/+/+c?Z3,贝I]a+b+c=3

【答案】A..

【解析】命题“若“，则q”的否命题是：“若力，则F”

例2.（2）（补充）

命题：“若.=0,则％=0或y=0”的专定是：

【答案】若町=0,则xoO且），工0

【解析】命题的否定只改变命题的结论。

留意：

"题的否定与否命题的区分

（-）充要条件的推断与证明

例1.（1）（补充）（07已知〃是，•的充分条件而不是

必要条件，q是厂的充分条件，s是厂的必要条件，q是5的

必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q

的充分条件而不是必要条件；③「是q的必要条件而不是

充分条件；@「P是「s的必要条件而不是充分条件;⑤，•是

s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是0

A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤

答案：Bp星尸q

留意：

1,‘利用定义推断充要条件

《名师一号》P6特色专题方法一定义法

定义法就是将充要条件的推断转化为两个命题

——“若P,则4”与“若q,则p”的推断，

依据两个命题是否正确，来确定。与q之间的充要关系.

pnq则P是q的充分条件；

q是p的必要条件

2,利用逆否法推断充要条件

《名师一号》P6特色专题方法三等价转化法

当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题

的关系，对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的

真假来推断p与q的关系.令p为命题的条件，q为命题

的结论，详细对应关系如下：

①假如原命题真而逆命题假，

那么p是q的充分不必要条件；

②假如原命题假而逆命题真，

那么p是q的必要不充分条件；

③假如原命题真且逆命题真，

那么p是q的充要条件；

④假如原命题假且逆命题假，

那么p是q的既不充分也不必要条件.

简而言之,逆否法———利用互为逆否的两个命题的等价性

例1.⑵《名师一号》P6特色专题例1

（2014•北京卷）设｛呢｝是公比为q的等比数列.

则“q>l”是“｛斯｝为递增数列”的0

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【规范解答】

nl

若q>l,则当m=-1时，an=-q~,｛©,｝为递减数列,

所以.“｛斯｝为递增数列

若｛斯｝为递增数列，则当©,=一（；）"时，ai=—

即“｛即｝为递增数列“=々>1''.故选D.

例1.⑶《名师一号》P6特色专题例2

（2014•湖北卷）设U为全集.A,B是集合，贝।卜存在

集合C使得A=C,8=（：1<：”是飞州=0”的0

A.充分而不必要条件反必要而不充分条件

C.充要条件O.既不充分也不必要条件

【规范解答】如图可知，存在集合C,使A=C,

BCCuC,贝I]有Af!B=。.若ACB=。，明显存在集合C.

满意A=C,B=[uC.故选C.

例1.⑷《名师一号》P4对点自测5

已知p:—4«<0,q：函数y=Ax2—A1一1的值

恒为负，则p是q成立的0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：-4〈kOnkO,J=Ar2+4A:<0,函数y=L*2—匕

—1的值恒为负，但反之不肯定有一4<斤<0,如A=O时，

函数y=A*2—左x—1的值恒为负，即2阳，而q书p.

可用定义或集合法

留意：

3,‘利用集合法推断充要条件

《名师一号》P6特色专题方法二集合法

涉及方程的解集，不等式的解集，点集等与集合

相关的命题时，一般采纳集合间的包含关系来判定两命题

之间的充要性.详细对应关系如下：

若条件p以集合A的形式出现，结论4以集合5的

形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和推

断.

(D若4*3,则P是q的充分但不必要条件

(2)若6星A,则P是9的必要但不充分条件

(3)若A=3,则P是q的充要条件

(4)若且A力

则p是夕的既不必要也不充分条件

(补充)简记作一一若A,B具有包含关系，则

(1)小范围是大范围的充分但不必要条件

(2)大范围是小范围的必要但不充分条件

例2.《名师一号》P5高频考点例3

1O22X,X>0,

函数式x)=L有且只有一个零点的

\2x—a,x<0

充分不必要条件是()

„11

A.“W0或a>lB.0<a<^C.2<a<lD.a<0

l022X,X>0,

解析:因为Ax)=L…有且只有一个零点

2一mx<0

的充要条件为<Z<0或4>1.由选项可知，使“好0或4>1”成

立的充分条件为选项D.

留意：《名师一号》P5高频考点例3规律方法

有关探求充要条件的选择题，解题关键是：

首先，推断是选项“推”题干，还是题干“推”选项;

其次，利用以小推大的技巧，即可得结论.

务必审清题，明确“谁是条件”！

此题选项是条件！

练习：(补充)

已知且q:x+y^5,贝!]〃是夕的

条件。

答案:既不充分条件也不必要条件

例3.《名师一号》P6特色专题例3

已知命题P：关于x的方程4x2—2ax+2a+5=0的解集

至多有两个子集，命题q：1—mWxgl+m,m>0,若是

F的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【规范解答】V力是r的必要不充分条件，

，p是q的充分不必要条件.

对于命题p,依题意知

A=(-2a)2-4-4(2a+5)=4(a2-8a-20)<0,

-2<a<10,

令P={a|-2<a<10},Q={x|l-m<x<l+m,m>0},

由题意知尸〶。，

m>0,m>0,

1一m<-2,1—m<-2,

ll+m>10<l+m>10,

解得mN9.因此实数m的取值范围是{m|m^9}.

留意：(补充)

凡结合已知条件求参数的取值范围

是求满意条件的等价条件即充要条件

练习：(补充)

已知p:-2WxK10;qA-m<x<l+m(m>0).

若「〃是的必要但不充分条件，

求实数H7的取值范围.

解：」，是「乡的必要但不充分条件

即—yp—\q且—iq=>—<p等价于

q书ppnq

即p是q的充分但不必要条件

令

A={x|-2<%<10}

B-^xl-m<%<1+m(m>0)}

[1—mG—2

则Au5即《解得机29

[1+m>10

所以实数形的取值范围是{根|m>91

f1—m4—2

注：A是B的真子集，须确保《

[1+m>10

中的等号不同时取得

例4.(补充)

求证：关于x的方程"2+21+1=0至少有一个负根的

充要条件是a<\.

证明：充分性：当。=0时，方程为2x+l=0的根为

x=-1,方程有一个负根，符合题意.

当a<0时，A=4-4a>0,方程ax2+2x+l=0有两个

不相等的实根，且20,方程有一正一负根，符合题意.

当0<«<1时，A=4-4a>0,

-宗。

方程ax2+2x+l=0有实根，且J1,

->0

la

故方程有两个负根，符合题意.

综上：当at时，方程ax2+2x+l=0至少有一个