新北师大版4.1任意角弧度制及三角函数的概念学案

第一节任意角、弧度制及三角函数的概念【考试要求】，体会引入弧度制的必要性.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边．(2)按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角．(3)按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号rad表示，读作弧度．在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制．(2)公式角α的弧度数公式α＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.正弦函数、余弦函数的定义(1)如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v，横坐标u都是唯一确定的，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，仍记作v＝sinα；把点P的横坐标u定义为角α的余弦值，仍记作u＝cosα.(2)设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，其中r＝eq\r(x2＋y2).4．正切函数的定义(1)根据函数的定义，比值eq\f(sinx,cosx)是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tanx，其中定义域为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))))))．(2)在角α的终边上任取一点Q(x，y)(x≠0)，则由正切函数的定义，得tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(y,x).5．三角函数的符号三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦[常用结论]1．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则eq\f(α,2)所在象限如图：2．一个结论：若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tanα>α>sinα.[思考辨析]判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)是第一象限角．()(3)若sinα＝sineq\f(π,7)，则α＝eq\f(π,7).()(4)－300°角与60°角的终边相同．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[对点查验]1．(多选题)在下列四个角中，属于第二象限角的是()A．160° B．480°C．－960° D．1530°ABC480°＝360°＋120°；－960°＝－3×360°＋120°；1530°＝4×360°＋90°.故属于第二象限角的是ABC.2．若α是第三象限的角，则π－eq\f(α,2)是()A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角B∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4)，∴－kπ－eq\f(3π,4)<－eq\f(α,2)<－kπ－eq\f(π,2)，∴－kπ＋eq\f(π,4)<π－eq\f(1,2)α<－kπ＋eq\f(π,2)，故当k为偶数时，π－eq\f(1,2)α是第一象限角；故当k为奇数时，π－eq\f(1,2)α是第三象限角．故选B.3．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sinθ＝，cosθ＝.答案eq\f(5,13)－eq\f(12,13)解析由三角函数的定义，得sinθ＝eq\f(5,\r(（－12）2＋52))＝eq\f(5,13)，cosθ＝eq\f(－12,\r(（－12）2＋52))＝－eq\f(12,13).4．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为答案解析由弧长公式l＝|α|r，得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(144,120)＝1.2(弧度).5．若α的终边所在直线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)，sin\f(3π,4)))，则sinα＝．答案±eq\f(\r(2),2)解析∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若α的终边在第二象限，则sinα＝sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，若α的终边在第四象限，则sinα＝－eq\f(\r(2),2)，综上可知sinα＝±eq\f(\r(2),2).考点一角及其表示1．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝B由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.2．(多选题)如果角α与角γ＋45°的终边相同，角β与γ－45°的终边相同，那么α－β的可能值为()A．90° B．360°C．450° D．2330°AC因为角α与角γ＋45°的终边相同，故α＝γ＋45°＋k·360°，其中k∈Z，同理β＝γ－45°＋k1·360°，其中k1∈Z，故α－β＝90°＋n·360°，其中n∈Z，当n＝0或n＝1时，α－β＝90°或α－β＝450°，故AC正确，令360°＝90°＋n·360°，此方程无整数解n；令2330°＝90°＋n·360°即56＝9n，此方程无整数解n；故BD错误．3．(2022·淄博模拟)θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是()A．sineq\f(θ,2) B．coseq\f(θ,2)C．sin2θ D．cos2θC因为θ是第二象限角，所以2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π，k∈Z，则4kπ＋π<2θ<4kπ＋2π，k∈Z，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，所以sin2θ<0.而kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，eq\f(θ,2)是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选C.思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N＋)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．考点二弧度制及其应用一扇形的圆心角α＝eq\f(π,3)，半径R＝10cm，求该扇形的面积．解由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴S扇形＝eq\f(1,2)|α|·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2).[引申探究]，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l＝|α|·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·102·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2).2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0<R<10).所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．对点强化1(1)(2022·全国模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，则该扇环形屏风的面积为m2.答案解析设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R－r＝1.2m，由题意可知α·r＝1.2m，a·R＝3.6m，所以α(R＋r)＝4.8m，所以该扇环形屏风的面积为：S＝eq\f(1,2)α(R2－r2)＝eq\f(1,2)α(R＋r)(R－r)＝eq\f(1,2)××＝2.88(m)2.(2)(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))是以为O圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB.“会圆术”给出eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq\f(CD2,OA).当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝()A.eq\f(11－3\r(3),2) B．eq\f(11－4\r(3),2)C．eq\f(9－3\r(3),2) D．eq\f(9－4\r(3),2)B由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝eq\r(3)，CD＝2－eq\r(3)，所以s＝2＋eq\f(（2－\r(3)）2,2)＝2＋eq\f(7－4\r(3),2)＝eq\f(11－4\r(3),2).故选B.考点三三角函数的概念(1)(2022·江苏南京市模拟)已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边绕O点顺时针旋转eq\f(π,3)后，经过点(－3，4)，则sinα＝()A．eq\f(3\r(3)＋4,10) B．eq\f(4－3\r(3),10)C．eq\f(3\r(3)－4,10) D．eq\f(3\r(3)＋2,10)B∵角α的终边按顺时针方向旋转eq\f(π,3)后得到的角为α－eq\f(π,3)，∴由三角函数的定义，可得：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(－3,\r(（－3）2＋42))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(4,\r(（－3）2＋42))＝eq\f(4,5)，∴sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))coseq\f(π,3)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＋(－eq\f(3,5))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).故选B.(2)(2022·湖南岳阳质量检测)在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(－2，y)且tan(π－α)＝2，则sinα＝．答案eq\f(2\r(5),5)解析因为α终边上一点(－2，y)，所以tanα＝－eq\f(y,2).由tan(π－α)＝2得tanα＝－2，所以y＝4，所以sinα＝eq\f(4,\r(（－2）2＋42))＝eq\f(2\r(5),5).(3)(2022·全国模拟)如果cosθ<0，且tanθ<0，则|sinθ－cosθ|＋cosθ化简为．答案sinθ解析∵cosθ<0，且tanθ<0，∴θ是第二象限角，∴|sinθ－cosθ|＋cosθ＝sinθ－cosθ＋cosθ＝