知识点19二次函数代数方面的应用1

一、选择题1.（2019广西梧州，4，3分）下列函数中，正比例函数是A． B． C． D．【答案】A【解析】解：A、，是正比例函数，符合题意；B、，是反比例函数，不合题意；C、，是二次函数，不合题意；D、，是一次函数，不合题意；故选：A．【知识点】正比例函数、反比例函数、二次函数的定义2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.．(2019黑龙江绥化,23题,10分)已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝,交x轴于点A,B,交y轴于点C,且点A坐标为A(－2,0),直线y＝－mx－n(m>0)与抛物线交于点P,Q(点P在点Q的右边),交y轴于点H.(1)求该抛物线的解析式;(2)若n＝－5,且△CPQ的面积为3,求m的值;(3)当m≠1时,若n＝－3m,直线AQ交y轴于点K,设△PQK的面积为S,求S与m之间的函数解析式.第29题图【思路分析】(1)由点A坐标和对称轴可求得a,b的值;(2)由n＝－5,联立解析式,可得关于x的方程,进而得到根与系数的关系,用m表示出△CPQ的面积,从而解方程得到m的值;(3)根据m的范围不同,画出图形,进行分类讨论,根据不同的位置关系列出解析式,即可得出结论.【解题过程】(1)∵对称轴为直线x＝,且过点A(－2,0),可得:,解得:,∴抛物线的解析式为:;(2)设点Q横坐标为x1,点P横坐标为x2,则x1<x2,把n＝－5代入y＝－mx－n得y＝－mx+5,∵y＝－mx+5和交于点P,Q,∴令－mx+5＝,整理得x2－(2m+1)x+4＝0,∴x1+x2＝2m+1,x1x2＝4,∵△CPQ的面积为3,∴S△CPQ＝S△CHP－S△CHQ,即HC(x2－x1)＝3,∴x2－x1＝3,∴(x1+x2)2－4x1x2＝9,(2m+1)2＝25,∴m1＝2,m2＝－3,∵m>0,∴m＝2;(3)当n＝－3m时,PQ:y＝－mx+3m,∴H(0,3m),∵y＝－mx+3m与交于点P,Q,－mx+3m＝,整理得(x－3)(x－2m+2)＝0,∴x1＝3,x2＝2m－2,当2m－2<3时,有0<m<,∵点P在点Q的右边,∴P(3,0),Q(2m－2,－2m2+5m),∴AQ:y＝x+5－2m,∴K(0,5－2m),∴HK＝|5m－5|＝5|m－1|,①当0<m<1时,如图①,HK＝5－5m,∴S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝5m2－m+,②当1<m<时,如图②,HK＝5m－5,∴S△PQK＝－5m2+m－,当2m－2>3时,如图③,有m>,∴P(2m－2,－2m2+5m),Q(3,0),K(0,0),∴S△PQK＝3m2－m.综上所述,.第29题答图【知识点】二次函数解析式,根与系数的关系,三角形面积,分类讨论2.（2019湖北仙桃，24，11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．【思路分析】（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，求出y=12x-32；联立y＝ax2+2x﹣1与y=12x-32，则有2ax2+3x+1＝0（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，x＝﹣1或x＝3；①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，x＝m＝3时，y有最大值﹣4；（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥49，直线AB的解析式为y=12x-32，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1=12x-32，△=【解题过程】解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴k+b=-∴k=1∴y=12x联立y＝ax2+2x﹣1与y=12x-32，则有2ax2+3x∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤98且a≠（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥4直线AB的解析式为y=12x抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1=12x∴ax2+32x+△=94-2a∴a＜9∴a的取值范围为49≤a＜98或【知识点】一次函数的性质；一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的图象；二次函数的最值3.（2019吉林长春，24，12分）已知函数当n=5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值.已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围.【思路分析】本题主要考查二次函数的综合应用，（1）根据n=5可得出函数的解析式，根据P在此函数图象上可得出b的值，对函数进行配方，根据二次函数的性质可得出最大值；（2）当n＞4时，根据题意可得，当n＜2时，根据题意可得，当n=4时和当n=2时求出函数的解析式并判定与线段AB的交点，当2＜n＜4时，根据题意可得或，分别求解即可；（3）首先将函数的解析式进行配方，然后分n＞0和n＜0两种情况进行求解即可.【解题过程】解：（1）当n=5时，，①∵点P在此函数图象上，∴b=；②当x≥5时，y=-x2+5x+5=-(x-)2+，∴当x=5时，y的值最大，最大值为y=-52+5×5+5=5.当x＜5时，y=-x2+x+=-(x-)2+，∴当x=时，y的值最大，最大值为，综上所述，y的最大值为.（2）当n＞4时，根据题意可得，即无解；当n＜2时，根据题意可得，即无解；当n=4时此时与线段AB无交点；当n=2时此时与线段AB有一个交点；当2＜n＜4时，根据题意可得或，解得n＞或n＜，∴2＜n＜或＜n＜4，综上所述2≤n＜或＜n＜4；（3）∵此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，∴当n＞0时，或=4，解得n≥8或n=4；当n＜0时，≥4或=4，解得n≤-8或n=-2-2.【知识点】二次函数的性质；分类讨论的思想.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26HYPERLINK"G:\\2018中考解析\\中考数学（解析版）\\分类