第一章·有理数·第1课时·有理数和数轴

初中数学第一章《有理数》“有理数和数轴”培训教程知识点精讲第一节：正数和负数从中学开始，我们对数的认识在小学基础上进一步扩展和深化。中学数学把整数分为正整数，0和负整数，把分数分为正分数和负分数。数不仅有正数和负数之分，而且有了更具体的分类。问(1)：什么是正数？什么是负数？如何划分正数和负数？答：大于0的数叫做正数。如果一个数的前面是一个正号，即：“＋”号，这个数就表示正数，“＋”号通常可以省略。小于0的数叫做负数。如果一个数的前面是一个负号，即：“－”号，这个数就表示负数，“－”号不省略。问(2)："0"在正数和负数中有什么作用和意义？、答：作用：0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界数。意义：0不仅可以表示没有，也可以用来表示一个确定的意义。比如：海拔高度0米，不是表示没有高度，而是表示一个确定的海拔高度值。温度0度，不是表示没有温度，而是表示一个确定的温度值。问(3)：如何划分正整数和负整数？答：大于0的整数，称之为正整数。比如：1，2，3，…。小于0的整数，称之为负整数。比如：－1，－2，－3，…。问(4)：“0”答：0是整数，但它既不是正整数，也不是负整数，它是正整数和负整数的分界数。问(5)：如何划分正分数和负分数？答：大于0的分数，称之为正分数。小于0的分数，称之为负分数。比如：，，，，1，1，，都是正分数。－，－，－，－，－1，－1，－，－都是负分数。问(6)：“0”答：0是整数，不是分数，它是正分数和负分数的分界数。问(7)：分数和小数有什么联系和区别？答：联系：分数和小数中的有限小数、无限循环小数可以互相转化。用分数的分子除以分母可以把分数化成有限小数和无限循环小数的形式。反之，有限小数和无限循环小数也可以化成分数。比如：分数可以化成有限小数和无限循环小数。=0.25，－=－0.5，－1=－1.333…=－1.，=0.1666…=0.1。有限小数和无限循环小数可以化成分数。1.25=1，－1.5=－1，0.=0.333…=，－1.1=－1.1666…=－1。区别：分数和小数在形式上有明显区别，是两种不同的数的表示形式，不是从属关系。小数里不能包含分数。分数里不能包含小数。虽然分数和小数中的有限小数、无限循环小数可以互相转化。但分数和小数中的无限不循环小数不能互相转化。分数不能化成无限不循环小数，反之，无限不循环小数不能化成分数。第二节：有理数中学数学把整数和分数统一起来，统称为有理数。问(1)：什么是有理数？答：有理数就是整数和分数的统称。问(2)：有理数是如何分类的？答：一是按定义分。有理数包括整数和分数两大类。其中，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数。其中的正整数和0又可统称为非负整数或自然数。如下图所示：正整数：1，2，3，…整数0负整数：－1，－2，－3，…有理数正分数：，，1，，…分数负分数：－，－，－1，－，…二是按正数、0、负数分。有理数包括正有理数、0、负有理数。其中，正有理数包括正整数、正分数，负有理数包括负整数、负分数。如下图所示：问(3)：有理数中的整数和分数之间有什么关系？答：有理数中的整数可以化成分母为1的分数的形式，分数可以看作是两个整数之比。但有理数中的整数和分数是两种不同的数的表示形式，不是从属关系。比如：任意一个整数－23=－，－17=－，0=，12=，19=，都可以化成分母为1的分数的形式。任意一个分数－，－，，，－1=－，1=，都可以看作是两个整数之比。问(4)：有理数和小数、百分数之间有什么关系？答：整数和分数统称有理数。小数、百分数、整数、分数是四种不同的数的表示形式，不是从属关系。小数、百分数既不是整数，也不是分数，不是有理数。第三节：数轴把正整数、0、负整数，正分数、负分数这些数在图形上表示出来，这个图形就是数轴。数轴就是用于表示数的具有原点、正方向、单位长度的直线。数轴上的每一个点都对应一个数，每一个数在数轴上都可以找到它的对应点。问(1)：什么是数轴？答：用于表示数的具有原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。问(2)：数轴的作用和构成要素是什么？答：数轴的作用就是用于表示数。数轴上的每一个点都对应一个数，每一个数在数轴上都可以找到它的对应点。答：原点、正方向、单位长度是构成数轴的三要素。只有具备了原点、正方向、单位长度的直线才能构成数轴。①数轴的原点就是数轴上的正半轴和负半轴的分界点，用数字0表示。以原点为分界点，把负数对应的一半数轴称之为负半轴，正数对应的一半数轴称之为正半轴。②数轴的正方向就是数轴所在直线上箭头所指的方向。箭头所指的方向为正方向，与箭头相反的方向为负方向。③数轴的单位长度是指数轴上以原点0为起点，以相等的长度划分的单位。通常设单位长度为1。单位长度不是长度测量单位，没有固定的间距，可根据需要确定长短。同一数轴上，单位长度的间距必须相等。问(3)：数轴有几种形式？答：数轴包括“横轴”和“纵轴”两种形式。如图1，与水平线平行的数轴，称之为“横轴”。如图2，与水平线垂直的数轴，称之为“纵轴”。图1：－5－4－3－2－1O12345图2：543210－1－2－3问(4)：数轴有哪几种画法？答：数轴有横轴和纵轴两种画法：①横轴的画法：如图1所示。1)画一条与水平线平行的直线，在直线上取一点作为原点，用数“0”2)从原点0出发，向右的方向为正方向，用箭头表示；向左的方向为负方向，不用箭头表示。3)选取适当的长度作为单位长度，通常设单位长度为1，单位长度的间距相等。从原点0出发，向右每隔一个单位长度取一个点，依次用正整数表示；从原点0出发，向左每隔一个单位长度取一个点，依次用负整数表示。②纵轴的画法：如图2所示。1)如图2，画一条与水平线垂直的直线，在直线上取一点作为原点，用数“0”表示。2)从原点0出发，向上的方向为正方向，用箭头表示；向下的方向为负方向，不用箭头表示。3)选取适当的长度作为单位长度，通常设单位长度为1，单位长度的间距相等。从原点0出发，向上每隔一个单位长度取一个点，依次用正整数表示；从原点0出发，，向下每隔一个单位长度取一个点，依次用负整数表示。问(5)：数轴上的数具有什么分布规律？答：规定：数轴上的数依箭头所指的方向，以原点0为分界点，按从小到大的顺序排列。图1：－5－4－3－2－1O12345①如图1，横轴向右的箭头所指的方向是正方向。以原点0为分界点，越向右越大，越向左越小。所以，横轴上，左边的数总是小于右边的数。即：左小右大。②如图2，纵轴向上的箭头所指的方向是正方向。以原点0为分界点，越向上越大，越向下越小。所以，纵轴上，下边的数总是小于上边的数，即：下小上大。图2：543210－1－2－3典型题型精编解析选择题：1.若a>0，且a>b，则b是（）A.正数B.负数C.0或负数D.负数、0或正数【答案】D【解析】数轴上的数按“负数＜0＜正数，从小到大”的分布规律排列。a＞0，则a是正数。a＞b，所以b可能是负数、0或正数。注意：不要忽略正数。故选D。2.下列结论中，正确的是（）A.有理数可分成正有理数和负有理数两大类B.分数都可以化成小数，小数都可以化成分数C.没有最大的有理数，也没有最小的有理数D.0是正整数和负整数、正分数和负分数的分界数，所以0既不是整数，也不是分数【答案】C【解析】有理数不仅包括正数和负数，还包括0，0是非正非负数，故A错误。分数可以化成有限小数或无限循环小数，无限不循环小数不能化成分数，故B错误。0是整数，不是分数，故D错误。有理数可以无限大，也可以无限小，故C正确。选C。3.下列各图中（）是数轴A.B.C.D.【答案】D【解析】原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。A中单位长度既代表1，又代表2，单位长度不相等。B中箭头向左，指向了负方向。C中无原点，且单位长度有长有短，不相等。只有D满足数轴的三要素，有原点，箭头向左、指向正方向，单位长度相等。故选D。4.数轴上四点E、F、G、H对应的数分别是a、b、c、d，且b＜a＜0，d＞c＞0，则数轴的原点在（）①E点的左侧②点F、H之间③G点的右侧④点E、G之间【答案】④【解析】以横轴为图示，由已知画出图示。∵数轴上的数按“负数＜0＜正数，从小到大”的分布规律排列。∴b＜a＜0，点F在E的左边，且点E、F在原点0的左侧。d＞c＞0，点H在G的右边，且点G、H在原点0的右侧。∴原点0在E、G点之间。故选④。填空题：1.一种商品的标准价是200元，随季节的变化，该商品的价格可浮动±10%。若超过标准价的浮动价格记为“＋”，低于标准价的浮动价格记为“－”，则该商品的浮动价格最高为______元，最低为______元。【答案】＋220，－180【解析】由已知可知：该商品的浮动价格=标准价×(1±10%)=200×(1±10%)。±10%就是商品标准价可上涨或下降的最高和最低百分比。上涨取“＋”号，下降取“－”号。∴上涨时，该商品的浮动价格最高为：200×(1＋10%)=220。下降时，该商品的浮动价格最低为：200×(1－10%)=180。按题目要求：220超过标准价，记作＋220。180低于标准价，记作－180。注意题目要求，答案不是“220，180”，而是“＋220，－180”2.若某数比某数“小几”，则用“－几”表示；若某数比某数“大几”，则用“＋几”表示。已知86比95小，“小几”可表示为_____；那么107比95大，“大几”可表示为_____。【答案】－9；＋12【解析】由题目要求可知：“－”号表示“小”，则“＋”表示“大”。∴“－9”表示小9，“＋12”表示大12。此时，正数和负数的符号相反、意义相反。注意：此时“＋”号有意义，不能省略。如果只是符号，可以省略。3.以下各数中，不是有理数的是______________。，－1.424242……，，，10%，3.14，0.20200220002……(注：是圆周率。)【答案】－1.424242……，，10%，3.14，0.20200220002……【解析】整数和分数统称有理数。小数、百分数、整数、分数是四种不同的数的表示形式，不是从属关系。小数、百分数既不是整数，也不是分数，不是有理数。所以，－1.424242……，，10%，3.14，0.20200220002……都不是有理数。，是分数，是有理数。故得出以上答案。4.如图，△ABC的边BC在数轴上，原点为点O，高AO=5，且OB=2OC，S△ABC=30，则点B、C在数轴上对应的数分别是_______和_______。【答案】－8和4【解题思路】由已知得：S△ABC=·AO·BC=·5·3OC=30。解得：OC=4。则：OB=2OC=8。由此确定点D、E在数轴上对应数的为－8和4。解答题：1.已知一组数5，－2，2.7，－4.1，3，－，0。(1)将以上各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接；(2)按有理数的类别，将以上各数分类。【答案】(1)将以上各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接；【答案】－4.1＜－＜－2＜0＜2.7＜3＜5。【解析】数轴上的数按“负数＜0＜正数，从小到大”的顺序排列。小于0的负数是：－4.1，－2，－。排序大小是：－4＜－＜－2大于0的正数是：5，2.7，3。排序大小是：2＜3＜5。∴这组数从小到大排列为：－4.1＜－＜－2＜0＜2.7＜3＜5。【注】正负数混合比较大小，最好先正、负分组，再比较大小。(2)按有理数的类别，将以上各数分类。【答案】如下图所示：①整数②分数注：2.7、－4.1是小数，不是有理数。【解析】有理数分为整数和分数两大类。整数包括正整数、0、负整数。5是正整数，－2是负整数。0是整数，但它既不是正整数，也不是负整数，它是正、负整数的分界数。分数包括正分数、负分数。3是正分数，－是负分数。小数是一种独立的数的表示形式，小数、整数、分数之间不是从属关系。小数既不是整数，也不是分数，不是有理数，所以不能在有理数范围内分类。其中的小数2.7、－4.1表示一个独立的小数类别,可单独标注列出。2.在数轴上有一条线段AB，点A、B对应的数分别为－2、7。(1)用横轴和纵轴两种形式画数轴，标出原点、正方向和单位长度，写出作法，并把点A、B在数轴上表示出来；(2)线段AB=_______；若点M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为________。【答案】(1)用横轴和纵轴两种形式画数轴，标出正方向、原点和单位长度，写出作法，并把点A、B在数轴上表示出来；画