高中数学-椭圆及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

一．教学目标分析1、知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.2、过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.3、情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.以“神舟六号”飞船运动轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.二．教学重点、难点教学重点：据以上教材、教学目标及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程；教学难点：椭圆标准方程的推导；授课类型：新授课三、教法与学法分析建构主义学习理论告诉我们，学习应是一种有意义的活动、是一种协商活动同时也是一种对真实情景的体验。因此，教师教学方法选择如何？是否有利于创设一种是否有趣、生动、活泼的课堂教学气氛，会直接关系到学生接受知识的过程是主动还是被动接受。在我的教学设计中，主要采用探究式教学方法。探究式教学是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性。在本课对椭圆的定义、坐标系的建立方法、标准方程的推导等一些重要内容的教学都运用此法，以求实际教学效果；同时通过多媒体辅助教学增强直观性、降底学生学习难度、增加课堂容量、提高学习效率。在学习方法上，指导学生：（1）椭圆定义要注重条件，体现概念引入的严密性；（2）有统一方程模式的曲线求方程要注意待定系数法的作用；（3）研究圆锥曲线要注重掌握一般方法。四．教学过程本节课的基本流程：创设情景引出课题-自主探究形成概念-师生互动导出方程-初步运用，强化理解-自我评价，反馈调节-知识整理，形成系统-布置作业(一)创设情景，提出课题本节课的开始由多媒体演示行星绕太阳旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图.引言：我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆。如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形呢？引出“圆锥曲线”名称的由来，并让学生举出实际生产、生活中有关椭圆的例子，引出椭圆。这样设置的目的是：1、让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有很多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力，并体现了爱国主义思想的渗透.2、使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点.3、教师也可以很自然的引出课题.(二)自主探究，形成概念[问一]曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？设置依据是“思维从疑问开始”，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入思考状态.此时我引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法（几何特征）.通过多媒体演示画椭圆的过程。[问二]1.多媒体演示作图说明了什么？2.在绳长(设为2a）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2c），画出的椭圆有何变化？3.当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？结论：当2a>2c时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当2a=2c时是线段；当2a<2c时，无轨迹.[设置依据]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义.定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|.(三)师生互动，导出方程给出椭圆的定义后，我指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究，根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.[问三]1.求曲线方程的一般步骤是什么？2.建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）.建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.[设置依据]让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.[问四]怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.1.建系设点：以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1、F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1设M(x，y)为椭圆上任意一点，|F1、F2|=2c(c>0)，则有F1（－c,0）、F2(c,0).又设M与F1、和F2的距离的和等于常数2a(a>0).[设置依据]因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.2.写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：P={M||MF1|+|MF2|=2a}.到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.4.化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到(a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2).指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，5.证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略.如有特殊情况，应给出说明.另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.[设置依据]再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.[问五]如果焦点F1、F2在y轴上，并且点O与线段F1、F2的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.比较椭圆的两种标准方程，填表.定义图形方程焦点a、b、c的关系注：（1）方程形式：左边是平方和的形式，右边是1；（2）方程中，谁下面的分母大，焦点就在哪个轴上；(3）方程中总有（4）a、b、c的关系：为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.练习1.下列方程哪些表示椭圆？若是，判断焦点的位置（让学生思考、抢答）[设置依据]使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.(四)初步运用，强化理解给出例1例1已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（-2，0）和（2，0），，并且经过，求出椭圆的标准方程。[设置依据]数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受"数形结合"思想的优越性.(五)自我评价，反馈调节变换练习方式，可增强新异感，调动学生的积极性，同时使学生获得的知识信息及时得到巩固，纳入长时记忆系统.(六)知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）1.椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2.椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3.解析几何的基本思想[设置依据]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.(七)布置作业习题8.123[设置依据]一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了学生的自主学习能力和探究性学习习惯.(八)板书设计（附后）板书设计椭圆及其标准方程定义、焦点、焦距；标准方程：练习；例题；小结。[设置依据]勾勒出全教材的主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点，用彩色增加信息的强度，便于掌握.2.1.1《椭圆及其标准方程》学情分析在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，我们可以充分相信：在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，且受高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。如：由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，故从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍。2.1.1《椭圆及其标准方程》效果分析学生对于探究实验，有的能够正确做出椭圆，有的同学做不出，对于做出的椭圆，我们可以分析它的研究过程，从而自然推导出椭圆的定义。对做不出椭圆的例子，我们可以在此基础上研究2a=2c和2a<2c的情况。学生对于练习1掌握很好，能够联系椭圆的定义以及标准方程的形式，做出正确的解答。学生对于典例一，能够写出一种方法，通过小组合作探讨之后，可以掌握第二种方法，表现不错学生对于第3题，对照探究做得很好，基本没有问题。2.1.1《椭圆及其标准方程》教材分析《椭圆及其标准方程》是人教版选修2-1（A版）第二章《圆锥曲线与方程》2.2.1节的内容。新课程标准将本节内容授课时间安排为两个课时。本节作为第一课时，重在理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，为后续学习奠定基础。椭圆是“圆锥曲线”的重要组成部分，既是“圆”的延伸，又是今后学习双曲线、抛物线的基础，具有承上启下的作用。同时，椭圆又是前一课题“曲线与方程”的深化，是进一步使用坐标法研究曲线的经典素材，对学生深入了解解析几何思想具有积极意义。 2.1.1《椭圆及其标准方程》导学案一、【学习目标】1、知识与技能：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程.2、过程与方法:通过亲身操作加深定义的认识.3、情感、态度与价值观:让学生在发现中学习，提高学生的积极性。培养解析法的思想。二、【重点难点】教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导三、【教学过程】 【回顾知识，提出问题】(一)新课复习:(1)圆是如何定义的？(2)圆的标准方程是什么？＜动手实验＞探究1：取一条定长的细绳（不带弹力），把它的两端用图钉固定在图板的同一点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（视为动点）画出的轨迹是什么图形?探究2：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别用两个图钉固定在图板的两点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：1、画图的过程中，细绳两端的位置是固定的还是运动的？2、笔尖在运动的过程中绳长的值是否改变？3、绳长和两图钉间距离的大小关系？4、移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？【互动合探】＜归纳定义＞椭圆定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于()的点的轨迹叫做。这两个定点叫做椭圆的，两焦点的距离叫做椭圆的符号语言：注：=1\*GB3①当2a>∣F1F2|时，轨迹是=2\*GB3②当2a=∣F1F2|时，轨迹是=3\*GB3③当2a<∣F1F2|时，轨迹是活学活用：用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.(2)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹.(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹.＜推导方程＞设问：求曲线方程的步骤是什么？追问1：如何建系才能使椭圆方程最简单？F1oypxF2图3思考：观察图形3，你能从中找出表示F1oypxF2图3oF1F2图4yMx追问2：oF1F2图4yMx且F1，F2的坐标分别为QUOTE0,-c,0,c,0,-c,QUOTEa,ba,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么?＜应用知识＞概念辨析1、指出下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？（1）QUOTEx225+y24=1x225+y24=1（2）QUOTEx24+(4)QUOTEx216-y29=1x216-y29=1(5)QUOTEx22+2、判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a2、b2，写出焦点坐标.典例讲评例、已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点QUOTE（52，-32勤加练习1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)a=4,b=1,焦点在x轴(2)a=4,c=QUOTE1515,焦点在y轴上2、如果椭圆上点P到左焦点F1的距离等于6点P到右焦点F2的距离是_____;若CD为过左焦点F1的弦,则△CF1F2的周长为_____,△F2CD的周长为_____;3、已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-4，0）（4，0），椭圆上一点到两个焦点的距离的和等于10，求它的标准方程.课堂小结作业布置教材P423、P4922.1.1《椭圆及其标准方程》教学反思椭圆及其标准方程是圆锥曲线的第一节.为了正确认识理解椭圆,案例首先回顾了圆的定义及其标准方程.在此基础上,通过实验体会椭圆的形成过程，总结椭圆的定义，推导椭圆的标准方程,这样设计自然,流畅,全面.椭圆及其标准方程的教学,是引导学生通过类比方法发现的,并让学生自主探索,构造图形验证,这样不仅体现了学生的主体地位,同时还能培养学生学科的探究能力.例题与练习、"拓展延伸"的设计,有层次,有力度,深入浅出,能较好地培养学生的创新能力。一节课究竟应该给学生留下什么？这是我们一直在思考的问题。如果，我们一味地、一相情愿地“灌输”，学生能学好了吗？辩证唯物主义认为：任何事物的发展变化，都是内外因相互作用的结果，外因是条件，内因是根据，外因通过内因而起作用。学生对教师所施与的影响，并不只是消极被动地接受，而是以能动的姿态去思考和抉择，主动积极地做出反应；他们可能采取完全肯定和接受的态度，也可能采取批判和扬弃的态度，还可以采取完全否定和鄙弃的态度。因此，一节课重要的是激发学生学习的兴趣。爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，如果在课堂中激起了学生的学习兴趣，那么教学就算成功了一半。这就需要我们在教学过程中多设计学生活动的时空，结合生活实际，挖掘课程资源，根据学生的具体情况，对教材进行加工，有创造地设计教学过程，这节课我以问题作为教学的出发点，让教学贴近学生。总之，数学课堂教学应该是一个“以知识教学为基点，以能力培养为核心