《不等式及其性质》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

PAGE不等式及其性质（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2015春•凉山州期末）下列数学表达式中：①﹣2＜0，2x+3y＞0，③x=2，④x2+2xy+y2，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列不等式表示正确的是().A．a不是负数表示为a＞0B．x不大于5可表示为x＞5C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0D．m与4的差是负数可表示为m-4＜03.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是()A．a+3＞b+3B．2a＞2bC．-a＜-bD．a-b＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.

A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c6．下列变形中，错误的是（）.A．若3a+5＞2，则3a＞2-5B．若，则C．若，则x＞-5D．若，则二、填空题7．用“＞”或“＜”填空：(1)-10.8________10.4；(2)________；(3)________(4)0________；(5)(-2)3________(6)________；(7)________0.66；(8)-1.11________8．（2014春•北京校级月考）用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为．9．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________是不等式-x＞0的解．10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1；(2)2a______2b；(3)_______；(4)a+l________b+1．11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空．(1)2a________a+b(2)_______(3)c-a_______c-b(4)-a|c|_______-b|c|12.k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）三、解答题13．（2014•佛山）现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．14.①当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______；

②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________；

③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________；

④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______；

⑤用a、b的其他值检验你的猜想______．15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．(1)8x-3和8y-3；(2)和；(3)x-2和y-1．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≤，≥，≠，则不等式有：①②⑤⑥．故选D.2.【答案】D；【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误；x不大于5应表示为x≤5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误；m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。3.【答案】B.4.【答案】D；【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D．5.【答案】A.6.【答案】B；【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。二、填空题7.【答案】(1)＜(2)＜(3)＞(4)＞(5)＜(6)＜(7)＜(8)＞；【解析】根据大小进行判断．8.【答案】x2﹣a2≤0；9.【答案】2；-1、【解析】一一代入验证.10．【答案】(1)＞(2)＞(3)＜(4)＞；11.【答案】(1)＞(2)＞(3)＜(4)＜；【解析】利用不等式的性质进行判断。12.【答案】-1＜k≤3．三、解答题13.【解析】解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a，a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；（2）a＞0时，2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a；a＜0时，2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a．14.【解析】解：①当a=3，b=5时，

a2+b2=34，2ab=30，

∵34＞30，

∴a2+b2＞2ab；

②当a=-3，b=5时，

a2+b2=34，2ab=-30，

∵34＞-30，

∴a2+b2＞2ab；

③当a=1，b=1时

a2+b2=2，2ab=2，

∵1=1，

∴a2+b2=2ab；

④综合①②③得出结论：a2+b2≥2ab（a=b时，取“=”）．

证明：∵（a-b）2≥0（a=b时，取“=”），

∴a2+b2-2ab≥0，

∴a2+b2≥2ab．

⑤设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上述结论正确；

设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，

综上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0时，取“=”）正确．15.【解析】解：(1)∵x＜y∴8x＜8y，∴8x-3＜8y-3．(2)∵x＜y，∴，∴．(3)∵x＜y，∴x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴x-2＜y-1．

不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2.理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念 1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)≤5．【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等．举一反三：【变式】的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；

③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；

②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误；

③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为＞10．故③正确；

④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2+b2＞0．故④正确．

综上所述，正确的说法有3个．故选C．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是().A．a+c＞b+cB．c-a＞c-bC．ac＞bcD．【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；

B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故