高考数学难点突破数学归纳法解题

高考数学难点打破数学归纳法解题高考数学难点打破数学归纳法解题高考数学难点打破数学归纳法解题高考数学难点打破数学归纳法解题数学法是高考考的要点内容之一.比与猜想是用数学法所体的比突出的思想，抽象与归纳，从特别到一般是用的一种主要思想方法.●点磁(★★★★)能否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+⋯+n(n+1)2=n(n1)(an2+bn+c).12●事例研究［例1］明：不正数a、b、c是等差数列是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等，均有：an+cn＞2bn.命意：本主要考数学法明不等式，属★★★★目.知依靠：等差数列、等比数列的性及数学法明不等式的一般步.解剖析：分明不等式等比数列或等差数列均建立，不仅明一种状况.技巧与方法：本中使用到：(ak－ck)(a－c)＞0恒建立(a、b、c正数)，进而ak+1+ck+1ak·c+ck·a.明：(1)a、b、c等比数列，a=b,c=bq(q＞0且q≠1)qnnbnnnn1nn∴a+c=+bq=b(qn+q)＞2bqn(2)a、b、c等差数列，ancn＞(acn*2b=a+c猜想2)(n≥2且n∈N)2下边用数学法明：①当n=2，由222，∴a2c2ac22(a+c)＞(a+c)2()②n=k建立，即akck22(ac)k,2当n=k+1，ak1ck11(ak+1k+1k+1k+1+c+a+c)41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=1(ak+ck)(a+c)44＞(ac)k·(ac)=(ac)k+1222［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2，an,Sn,Sn－1成等比数列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学法明所得的；(3)求数列{an}全部的和.命意：本考了数列、数学法、数列极限等基知.知依靠：等比数列的性及数学法的一般步.采纳的方法是、猜想、明.1舍去，一点常常简单被忽.解剖析：(2)中，Sk=－2k3技巧与方法：求通可明{1}是以{1}首，1公差的等差数列，而求得SnS12104通项公式.解：∵an,Sn,Sn－1成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－1)(n≥2)22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23a1=1，a2=－2,S3=1+a3代入(*)式得：a3=－2331512同理可得：a4=－,由此可推出：an=235(2n3)(2n1)(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想建立.②假定n=k(k≥2)时，ak=－2建立3)(2k1)(2k故Sk2=－2·(Sk－1)(2k3)(2k1)2(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=1,S1(舍)2k2k31Sk+12=ak+1·(Sk+1－1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－1)22122ak12ak11(2k1)2ak12k1ak12k1ak12ak12即nk命题也建立.[2(k1)3][2(k,11)1]1(n1)

(*)(n1)(n1)由①②知，an=2(n对全部n∈N建立.(2n3)(2n2)1)1(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=limSn=0.2n1n●锦囊妙记(1)数学归纳法的根本形式设P(n)是对于自然数n的命题，假定1°P(n0)建立(奠定)2°假定P(k)建立(k≥n0)，能够推出P(k+1)建立(归纳)，那么P(n)对全部大于等于n0的自然数n都建立.(2)数学归纳法的应用详细常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何上当算问题，数列的通项与和等.●剿灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对随意n∈N,都能使m整除105f(n)，最大的m的()2.(★★★★)用数学法明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空3.(★★★★★)察以下式子：113,1115,11117⋯可22223232232424出_________.4.(★★★★)a1=13an,a2,a3,a4,a5的分_________，由此猜想,an+1=an23an=_________.三、解答5.(★★★★)用数学法明42n1+3n+2能被13整除，此中n∈N*.6.(★★★★)假定n大于1的自然数，求：11113n1n22n.247.(★★★★★)数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145.(1)求数列{bn}的通公式bn;1)(此中a＞0且a≠1)Sn是数列{an}的前n和，(2)数列{an}的通an=loga(1+bn比Sn与1logabn+1的大小，并明你的.38.(★★★★★)数q足|q|＜1,数列{an}足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又假如limS2n＜3,求q的取范.n参照答案点磁41(abc)6a31解：假存在a、b、c使的等式建立，令n=1,2,3,有222bc)b11(4a2c10709a3bc于是，n=1,2,3下边等式建立1·22+2·32+⋯+n(n+1)2=n(n1)(3n211n10)12Sn=1·22+2·32+⋯+n(n+1)2n=k上式建立，即k(k1)2Sk=(3k+11k+10)12那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=k(k1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)22106=(k1)(k2)(3k2+5k+12k+24)12=(k1)(k2)［3(k+1)2+11(k+1)+10］12也就是说，等式对n=k+1也建立.综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对全部自然数n均建立.剿灭难点训练一、1.分析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，k整除，那么n=k+1时，f(k)=(2k+7)·3+9能被36f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不可以被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C2.分析：由题意知n≥3，∴应考证n=3.答案：C二、3.分析：113即1(1121112221)211115,即11(2122122323(11)21)221归纳为111(n12n1(n∈N*)22321)2n1答案:111(n12n1(n∈N*)22321)2n13a13133分析2同理,4.:a2a13172532a33a233,a433,a533,猜想an3a238359451055n5答案:3、3、3、3n3789105三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假定当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，那么当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除107∴当n=k+1也建立.由①②知，当n∈N*，42n+1+3n+2能被13整除.6.明：(1)当n=2，1171321221224(2)假当n=k建立，即11113k1k22k24那么当nk1时,11111112k2k12k2k1k1k2k3131111311242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)24b11b117.(1)解：数列{bn}的公差d,由意得10b110(101)d145d,∴bn=3n－232(2)明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+1)+⋯+loga(1+1)43n2=loga［(1+1)(1+1)⋯(1+1)］43n2而1logabn+1=loga33n1,于是，比Sn31(1+)与33n1的大小.3n2取n=1，有(1+1)=38343311取n=2，有(1+1)(1+1)38373324推：(1+1)(1+1)⋯(1+1)＞33n143n2

1logabn+131(*)

1比(1+1)(1+)⋯4①当n=1，已(*)式建立.②假n=k(k≥1)(*)式建立，即(1+1)(1+1)⋯(1+12)＞33k143k当n=k+1，(11)(11)(11)(13(k1)33k1(11)43k21)23k13k233k13k1(3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k40(3k1)2(3k1)233k1(3k2)33k433(k1)13k1108进而(11)(11)(11)(11)33(k1)1,即当n=k+1，(*)式建立43k23k1由①②知，(*)式随意正整数n都建立.于是，当a＞1，Sn＞1logabn+1,当0＜a＜1，Sn＜1logabn+1338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,9∴q≠0,a2=－,2an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1两式相除，得an1an2,即an+2=q·anqn1n于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·q⋯猜想：a2n+1=－q(n=1,2,3,⋯)2qk1n时(kN)2k1合①②，猜想通公式an=1qkn2k时(kN)2下：(1)当n=1,2猜想建立(2)n=2k－1，a2k－1=2·qk－1n=2k+1，因为a2k+1=q·a2k－1a2k+1=2·qk即n=2k－1建立.可推知n=2k+1也建立.n=2k，a2k=－1qk,n=2k+2，因为a2k+2=q·a2k,2因此a2k+2=－1qk+1,明n=2k建立，可推知n=2k+2也建立.2上所述，全部自然数n,猜想都建立.