概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布

§2.3随机变量函数的分布

1.X是离散型随机变量

2.X是连续型随机变量1概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布

在许多实际问题中，常常需要研究随机变量的函数。例如：☆测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面积由于测量的误差，d为随机变量，S就是随机变量d的函数☆

在统计物理中，已知分子的运动速度X的分布，求其动能的分布。2概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布一般地，设y=f(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=f(x)的定义域内，则Y=f(X)也为一随机变量。3概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布1.X是离散型随机变量设随机变量X的分布列为Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…则函数Y=g(X)是离散型随机变量，可能的取值是g(x1),g(x2),…,g(xk),…(k=1,2,…,n,…).则Y=g(X)

的概率分布为：4概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布(1)若g(xk)互不相同，则事件{Y=yi=g(xi)}等价于事件{X=xi}，从而Y=g(X)

的概率分布为：Yg(x1)g(x2)…g(xk)…P(Y=yi)p1p2…pk…5概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布(2)若某些g(xi)相同，比如g(xi1)＝g(xi2)＝…=g(xil)=yi,(i=1,2,…)则事件{Y=yi=g(xi)}等价于事件{X=xi1}∪{X=xi2}∪…∪{X=xil}

从而有：6概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布步骤：1.确定Y的取值y1,y2,…,yi,…2.求概率P(Y=yi)=pj

3.列出概率分布表7概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布X01234P1/121/61/31/121/3Y-11357P(Y=yi)1/121/61/31/121/3例2.3.1

设随机变量X的分布列如下表，试求Y=2X-1和

Y=(X-1)2的分布列.解

(1)因为y=2x-1严格单调，所以yi

(i=1,2,…,5)互不相同，Y所有可能取的值为-1,1,3,5,7.故Y的分布列为：8概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布Y0149P(Y=yi)1/61/12+1/31/121/3(2)因为Y=(X-1)2的取值分别为1,0,1,4,9.故Y的分布列为：9概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设X~B(2,0.3)，求下列随机变量的分布列

1.Y1=X22.Y2=X2-2X3.Y3=3X-X2解

X的概率分布为X012Y1=X2014Y2=X2-2X0-10Y3=3X-X2022P0.490.420.09Y1014P0.490.420.09Y2-10P0.420.58Y302P0.490.51则Y1，Y2，Y3的分布列分别为10概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设X服从参数为λ的泊松分布，试求Y=f(X)的分布列.其中解易知Y的可能取值为-1,0,1，且有11概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布2.X是连续型随机变量设X为连续型随机变量，已知其分布函数FX(x)和密度函数fX(x)，随机变量Y=g(X)，要求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y).步骤：(1)由Y=g(X)的分布函数这里G={x|g(x)y}(2)求导数得Y=g(X)的概率密度为

fY(y)=F'Y(y)注：解g(x)≤y

时要考虑y的不同取值范围12概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设随机变量，求X的线性函数的密度函数解先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:13概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布从而，求导数得：14概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布由此得到服从正态分布的随机变量的一个重要性质：若随机变量则15概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布定理2.3.1

设连续型随机变量X具有概率密度函数fX(x)，又设函数y=g(x)是x的单调函数，其反函数g－1(y)有连续导数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为:其中

16概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布证(1)g(x)严格单调增加时，此时其反函数g－1(y)在(α,β)也严格单调增加，则故于是得Y的概率密度：17概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布(2)g(x)严格单调减小时，此时其反函数g－1(y)在(α,β)也严格单调减小，则故注意，此时18概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布于是得Y的概率密度：综合上述两种情况，定理成立.19概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设随机变量X的概率密度函数为求随机变量Y=X2的概率密度函数。解先求Y的分布函数FY(y)=P(Yy)=P(X2y),当y=0时，FY(y)=0当y<0时，{Yy}为不可能事件，此时FY(y)=0当y>0时，

所以Y的概率密度函数为20概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设随机变量求的密度函数.解

X的取值范围为(0,1)，从而Y的取值范围为(1,3)当1<y<

3时，Y的分布函数为21概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布由于x<0时从而因此当1<y<3时，而Y<1和Y>3是不可能事件，从而有22概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设随机变量X的概率密度函数为求的概率密度.解

y=ex

单调可导，且其值域为y>0反函数为x=g(y)=lny所以，y>0时故23概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例

设随机变量X具有概率密度求随机变量Y=2X+8的概率密度解先求Y=2X+8的分布函数FY(y)24概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布于是得Y=2X+8的概率密度为：25概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布例2.3.4

设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度由于故当y<0时，FY(y)=P(Yy)=0解先求Y=X2的分布函数FY(y)当y=0时，FY(y)=P(Y