分离变量法求解偏微分方程

第十章分离变量法第一节有界弦的自由振动第二节有限长杆上的热传导第三节特殊区域上的位势方程第四节高维定解问题的分离变量法第五节对非齐次边界条件和非齐次方程的处理分离变量法求解偏微分方程第一节有界弦的自由振动物理解释：

一根长为l

的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动分离变量法求解偏微分方程求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：分离变量法求解偏微分方程第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数分离变量法求解偏微分方程第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得分离变量法求解偏微分方程驻波其中振幅频率初相位振动元素，本征振动驻波oln=4分离变量法求解偏微分方程其它边界条件的混合问题两端自由的边界条件分离变量法求解偏微分方程左端点自由、右端点固定的边界条件分离变量法求解偏微分方程左端点固定、右端点自有的边界条件分离变量法求解偏微分方程第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难分离变量法求解偏微分方程举例-弦的敲击对不同的c，有界弦的自由振动分离变量法求解偏微分方程当c=0.2l时，有界弦的自由振动分离变量法求解偏微分方程当c=0.5l时，有界弦的自由振动分离变量法求解偏微分方程再例-弦的拨动对不同的d，有界弦的自由振动分离变量法求解偏微分方程当d=0.5l时，有界弦的自由振动分离变量法求解偏微分方程当d=0.3l时，有界弦的自由振动分离变量法求解偏微分方程第二节有限长杆上的热传导物理解释：

一根长为l

的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布分离变量法求解偏微分方程求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解本征值问题X(x)：T(t)：分离变量法求解偏微分方程第二步：求本征值和本征函数X(x)，以及T(t)的表达式T(t)的表达式本征值和本征函数分离变量法求解偏微分方程第三步：利用初始条件求得定解问题的解利用初始条件得分离变量法求解偏微分方程举例分离变量法求解偏微分方程当u0=1

时，杆内温度随时间的变化分离变量法求解偏微分方程第三节特殊区域上的位势方程矩形域上的边值问题

散热片的横截面为一矩形[0,a][0,b]，它的一边y=b处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布分离变量法求解偏微分方程参数选取分离变量法求解偏微分方程圆域内的边值问题

一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数f(x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布分离变量法求解偏微分方程ora+2隐含着的周期边值条件和原点约束条件分离变量法求解偏微分方程第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解()：R(r)：周期本征值问题欧拉方程分离变量法求解偏微分方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程分离变量法求解偏微分方程第三步：利用边界条件利用边界条件分离变量法求解偏微分方程解的约化-Poisson积分公式分离变量法求解偏微分方程举例-观察法分离变量法求解偏微分方程第四节高维定解问题的分离变量法球域内Laplace方程的边值问题球域内波动方程的初边混合问题球域内热传导方程的初边混合问题分离变量法求解偏微分方程球域内Laplace方程的边值问题球面坐标变换分离变量法求解偏微分方程隐含着的周期边值条件和球内约束条件分离变量法求解偏微分方程第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解R(r)：()：()：分离变量法求解偏微分方程R(r)：()：欧拉方程第二步：求R(r)，()和()的具体表达式分离变量法求解偏微分方程()：()=(cos-1x)=y(x)：缔合勒让德方程分离变量法求解偏微分方程第三步：利用边界条件求解分离变量法求解偏微分方程举例半径为a的球形内部没有电荷，球面上的电势为sin2cossin

，求球形区域内部的电势分布分离变量法求解偏微分方程附记：球函数R(r)：Y(,)：球函数球方程分离变量法求解偏微分方程球域内波动方程的初边混合问题分离变量法求解偏微分方程第一步：首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如

T(t)：v(x,y,z)：其中k是待定常数分离变量法求解偏微分方程第二步：求解T(t)

第三步：求解v(x,y,z)

分离变量法求解偏微分方程求如下形式的解

R(r)：Y(,)：球函数球Bessel方程球Bessel函数分离变量法求解偏微分方程第四步：利用初始条件求解分离变量法求解偏微分方程球域内热传导方程的初边混合问题分离变量法求解偏微分方程附注对于其它特殊区域上的定解问题我们同样可以利用分离变量法进行求解例如：半球内或外、圆柱上的Laplace方程的边值问题半球内或外、圆柱上的波动方程和热传导的初边混合问题等分离变量法求解偏微分方程第五节对非齐次边界条件和非齐次方程的处理对非齐次边界条件的处理叠加原理对非齐次方程的处理分离变量法求解偏微分方程对非齐次边界条件的处理将非齐次边界条件化为齐次边界条件分离变量法求解偏微分方程其中w可以取或分离变量法求解偏微分方程叠加原理分离变量法求解偏微分方程对非齐次方程的处理冲量定理法Fourier级数法分离变量法求解偏微分方程Fourier级数法满足齐次边界条件正交完备系分离变量法求解偏微分方程预设则有分离变量法求解偏微分方程其中分离变量法求解偏微分方程举例-共振分离变量法求解偏微分方程当趋向于某个特征频率k，则有这说明当=k时，对应于第k