概率论wf第六章

第六章 数理统计的基本概念§6.1随机样本和统计量数理统计以随机现象为研究对象，以概率论为理论基础。对观测大量随机现象得到的数据进行的收集、整理、分析和应用的方法构成了数理统计的基本内容。对所关心的随机现象，做出具有一定精度的推断作为数理统计的基本任务。所以，数理统计和概率论之间，有密切的联系，也有显著的区别。它们都以随机现象为研究对象，但概率论侧重于理论的研究，而数理统计从经验（数据）出发，这就决定了数理统计有它自己的鲜明的特点，具有更加直接的实用性。我国改革开放以来，经济建设稳步发展，概率统计已成为处理信息、制定决策的重要理论与方法，其作用日益显著，学科本身也得到迅速发展，成为最为活跃的数学分支之一。随着高科技的发展，数理统计的理论和方法的研究将有一个长足的进步，统计知识将会日益普及，为加速科研、生产和经济的发展将发挥重要作用。数理统计的内容非常丰富，本书只介绍参数估计、假设检验的部分内容。6.1.1

总体和样本1、总体我们把所研究对象的全体所组成的集合，称为总体（universe），把总体中的每个元素称为个体。例如，一个班级作为总体，班级里的每位同学是个体；工厂里的一批产品作为总体，每件产品就是个体。总体根据其包含的个体总数，分为有限总体和无限总体。当有限总体所包含的个体数目很大时，可以近似地将它看成是无限总体。在数理统计中，我们不研究每个个体的种种特性，而关心其某项数量指标X。例如，我们仅关心班级里同学们某一科的学习成绩，用最终考试分数X来衡量。又例如，某工厂生产的一批灯泡，我们关心的是灯泡的寿命X。通常，X是随机变量。今后，我们把这个表示“总体”的某项数量指标的随机变量X称为总体，它所能取得的每个值称为个体。2、样本为了对总体X的性质进行各种所需的研究，总是对总体进行抽样观察----对部分个体进行研究（观测或实验），以取得信息，并据此对总体进行统计推断， 对所关心的问题做出尽可能科学的总结。之所以只是对部分个体而不是对全部个体进行研究，是因为：（1）有的实验是破坏性的（如灯泡的寿命试验等）（2）需要花费大量的人力、时间、财力、物力等。从总体中抽取n个个体(对有限总体，当个体总数

N≥10n时，可将不放回抽样近似地当作放回抽样),观测其数量指标X的值，从而得到n个观测值：x1

,

x2

,,

xn,称之为总体X的一组样本值，称n为样本容量（size）。一般来说，在相同条件下，这样的观测要进行多次。就每次的观察结果而言，x1

,x2

,,xn

是一组完全确定的值，但它又是随每次抽样观察（试验）而改变的，当进行研究时，要把样本看做随机变量X

1

,X

2

,,X

nx1

,

x2

,,

xn而 表示

X1

,

X

2

,,

Xn

的一组观测值，称为样本值或称为样本的一个现实。由于Xi

(i

=1,2,n)是从总体X中随机抽取的，它的取值范围就是总体X的取值范围，并且它与总体X应有相同分布，否则就没有代表性。定义1

称随机变量X为总体，称X的分布为总体分布（universe

distribution）。定义2

称随机变量为来自总体的简单随机样本，如果:X1

,X

2

,,Xn

相互独立Xi

(i

=1,2,,n)与总体有相同的分布。另外，各次观测应独立进行，互不干扰，以保证数据的可靠性，因此各

Xi

(i

=

1,2,n)

应相互独立。ni

=1i

=1又若总体X

概率密度为f

(x)，(X1

,X

2

,,Xn

)是来自总体X

的样本，则其联合概率密度为nf

(

x1

,

x2

,,

xn

)

=

f

(

xi

):F

(

x1

,

x2

,,

xn

)

=

F

(

xi

)由定义得：若总体X具有分布函数F(x)，则(X1

,X

2

,,Xn

)

的联合分布函数为今后，如无特别说明，“样本”即指简单随机样本X1

,

X

2

,,

Xn。而称 是来自总体

X

的一个样本。例

1

求X1

,

X

2

,,

Xn

的联合分布。(1)

X～b(1,

p),

p{

X

=

x}

=

px

(1

-

p)1-

x

,(x=0,1)(1)X～{p

(l)，

P

X

=

k-llk}=k!e

(k

=0,1,)，

则有(

X1

,

X

2

,,

Xn

)~ni

=1ki

!ne-nl

(k

=

0,1,)i

kili

=11

2

niiiixnnn-

S

xi

=1nS

xi

=11-

xi

=1]

=

p

(1

-

p)则(

X

,

X

,,

X

)～P

[

p

(1

-

p)2s

2-2

-(2)X～

N

(m,s

2

)，密度函数为1

(

x-m

)2f

(

x)

=

(2ps

2

)

e则2in-i

=1S

(

x

-m

)-n2

e

2s

2(

X

,

X

,,

X

)

~

(2ps

2

)1

2

n6.1.2

统计量和样本矩定义

3

称不含未知参数的样本

X1

,

X

2

,,

Xn

的函数T

=

T

(

X1

,

X

2

,,

Xn

)为统计量（statistic）显然，T是一个随机变量，T常常是X1

,X

2

,,Xn

的连续函数显然，T是一个随机变量，T常常是X1

,X

2

,,Xn

的连续函数例如，X

~

N

(m,s

2

)，和s

2

未知，X

,

X

是来自Ｘ的1

22221i一个样本，则X

=

1

(

X

+

X

)

B

=1

2

22

i

=1S(X

-X

)都是1统计量，而X

-

m

和s2X都不是统计量。对总体Ｘ，称E(X

k

)(k

=1,2,)为总体的ｋ阶矩。nkiXAk

=i

=11n(k

=1,2,)为样本的k

阶(原点)矩。i

=1inX

=

1

Xn为样本均值定义４

X1

,

X

2

,,

Xn

为总体Ｘ的样本，则称统计量1n

kkini

=1B

=(

X

-

X

)(k

=

1,

2,)为样本的k

阶中心矩niniX

-

n

Xi

=122i

=1S

2

=n

-

1

1(

X

-

X

)2

=n

-

11为样本方差。S

2S

=为样本标准差。kmk

=

E(

X

)样本矩，特别是样本均值和样本方差，是常用的统计量。设X1

,X

2

,,Xn

为来自总体Ｘ的样本，记m

=

E(

X

),

s

2

=

D(

X

),则样本矩有如下重要性质：1s

22E(

X

)

=

m,

D(

X

)

=

nE(

S

2

)

=

s

23(k

=

1,2,)nk

k

km

-

m2E(

A

)

=

m

,

D(

A

)

=

2k

k

证明

只证性质（1）中第一式和性质（2）niini

=1i

=1E(

X

)

=

m1nE(

X

)

=

E(

1

X

)n=1i

=1inE((

X

-

X

)2

)E(

S

2

)

=n

-

112XE(n2i-

n

X

)=i

=1=ni

=122i)

-

n

E(

X

)E(

Xn

-

1n

-

11{=n2

i

=12 2

}n

-

11

s

2

m

+

s

-

nm

+

n

=

s

2证明过程中，用到了X1

,X2

,,Xn的独立性和Xi

与总体X

同分布的性质。由性质（3）有D(Ak

)fi

0(n

fi

¥

),就是说，用样本k阶矩Ak

代替总体k阶矩mk

，虽然就个别几次试验来说，可能是有偏差的，但当试验次数充分大时，Ak

的平均值集中于mk

，而且Ak

围绕mk

摆动的幅度，随着

n的增大而减少。事实上，由大数定律可知<

e}

=

1nfi

¥lim

P{

Ak

-

mk进而g(m1

,

m2

,,

mk

)Pg(

A1

,

A2

,,

Ak

)fi式中，g为连续函数。这就是下一章所要介绍的矩估计法的理论依据。22.

X1

,

X

2

,

X

3

是来自总体X

~

N

(m,s

)的样本,其中,

已知,s

2

未知,则(A.X1

+

X

2

+

X

3)是统计量.B.X

2

+

3m32

i

X

2C

.max(

X1

,

X

2

,

X

3

)

D.i

=1

s21.设X1

,

X

2

,

Xn

为来自总体X

~

N

(m,s

)的样本,ai

为n常

数

(i

=

1,2,,

n)

,

则

ai

Xi

+

1

服

从

分i

=1nin

i

=1布,

X

=

1X

服从 分布.习题3.设X1

,

X

2

,

Xn

是来自总体X

为(0-1)分布的样本,则有(

)A.E(

X

)

=

p,

D(

X

)

=

p(1

-

P

)nB.

E(

X

)

=

np,

D(

X

)

=

p(1

-

P

)n2C

.E(

X

)

=

p,

D(

X

)

=

p(1

-

P

)D.E(

X

)

=

np,

D(

X

)

=

p(1

-

P

)n其中X

为样本均值,

p

=

P{

X

=

1}.36的样本4

在总体N

(56,6.32

)中随机抽一容量为求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率.5.在总体N

(12,4)中随机抽一容量为5的样本,X1

,X

2

,X

3

,X

4

,X

5

,求:(1)样本均值与总体均值之

差的绝对值大于1的概率;(2)概率P{max(

X

,

X

,

X

,

X

,

X

)

>

15};1

2

3

4

5(3)概率P{min(X1

,X

2

,X

3

,X

4

,X

5

)<10};设X

1

,

X

2

,

X

n

是来自总体

X

~ N(

m

,4)的样本

,

X为样本均值,问:样本容量n应取多大才能使E(X

-m

)£

0.12样本容量n应取多大才能使E(X

-m

)£

0.17.设X

1

,X

2