万有引力的数学应用

万有引力定律的数学应用★我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。答案：解析：如图所示：设O和分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线与地月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧上运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有：①②，②式中，T1表示探月卫星绕月球转动的周期．由以上两式可得：…………③设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有：④，式中，．由几何关系得：⑤，⑥由③④⑤⑥得：⑦★宇宙飞船以周期T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（）A．飞船绕地球运动的线速度为B．一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0C．飞船每次“日全食”过程的时间为D．飞船周期为答案：AD解析：飞船绕地球运动的线速度为由几何关系知，所以，A正确；所以，D正确。一天内飞船经历“日全食”的次数为=T0/T，所以B错误；飞船每次“日全食”过程的时间，如下图所示，是飞船沿BAC圆弧从B到C的时间，时间，所以C错误；（2004广东物理16题）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？（已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射）答案：arcsin解析：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有=mr()2.春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心.由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑到对称性，有rsinθ=R，t=，=mg.由以上各式可解得t=arcsin.地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R=1.50×1011m，运转周期为T=3.16×10答案：，解析：由题意当地球与行星的连线与行星轨道相切时,视角最大可得行星的轨道半径r为:代入数据得设行星绕太阳的运转周期为T/,由开普勒第三定律：有代入数据得★地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波。但无论同步卫星的数目增加到多少个，地球表面总有一部分面积不能直接收到它们发射的微波，求这个面积的大小。（已知地球半径为==6.4m半径为R、高为h的球冠的表面积为=2πRh球的表面积=4π,结果保留一位有效数字）答案：S=6×1012m2解析：如图所示，因为同步卫星总是在赤道上空，其高度一定，由同步卫星所在处画一条到地球表面的切线，可见两极地区周围的区域内就接收不到微波信号。以m、M分别表示卫星和地球质量，r表示卫星到地心的距离，T表示地球自转周期，则对地球表面质量为m0的物体，有G=m0g；对地球同步卫星有G=mr由几何关系，rsinθ=R0，某个极周围的接收不到微波信号的区域面积为S’=2πR02(1-cosθ)，地球有两个极，因而接收不到微波信号的区域面积为S=2S'=4πR02(1-cosθ)联立解得S=4πR02(1-)代入数据得S=6×1012m2。★（2012江西三校联考）2011年7月11日23时41分(1)已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，地球自转周期T=24h，=0.7，请你估算“天链一号02星”的轨道半径为多少？（结果保留一位有效数字）(2)某次有一个赤道地面基站发送一个无线电波信号，需要位于赤道地面基站正上方的“天链一号02星”把该信号转发到同轨道的一个航天器，如果航天器与“天链一号02星”处于同轨道最远可通信距离的情况下，航天器接收到赤道地面基站的无线电波信号的时间是多少？（已知地球半径为R，地球同步卫星轨道半径为r，无线电波的传播速度为光速c）答案：（1）r=4×107m（2）t=t1+t2=+2/c解析：（1）从题目信息中可知：“天链一号02星”是地球的同步卫星，处于同步卫星的轨道。它的周期与地球自转周期相等。G=mr……(1分)GM=gR2……(1分)R解得r=……(1分)代入数据得r=4×107m……(1中继卫星接收t1=；……(1分)然后中继卫星再把信号传递到同轨道的航天器t2=s/c=2/c…………(1分)所以共用时：t=t1+t2=+2/c…(1分)。★（2014·全国卷）已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：(1)卫星B做圆周运动的周期；(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．答案：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,h)))eq\f(3,2)T(2)eq\f(r\f(3,2),π（h\f(3,2)－r\f(3,2)）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(arcsin\f(R,h)＋arcsin\f(R,r)))T解析：(1)设卫星B绕地心转动的周期为T′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有Geq\f(Mm,h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)h①Geq\f(Mm′,r2)＝m′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))eq\s\up12(2)r②式中，G为引力常量，M为地球质量，m、m′分别为卫星A、B的质量．由①②式得T′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,h)))eq\s\up6(\f(3,2))T.③(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；在此时间间隔τ内，卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′，则α＝eq\f(τ,T)2π④α′＝eq\f(τ,T′)2π⑤若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．由几何关系得∠BOB′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(arcsin\f(R,h)＋arcsin\