工程数学试卷及答案

PAGE选择填空题某数的有四位有效数字且绝对误差限是的近似值是（A）

（A）0.693(B)0.6930（C）0.06930(D)0.006930次拉格朗日插值多项式的余项是(A)

(A)(B)(C)(D)求积公式具有（A）次代数精度

（A）1（B）2（C）4（D）3用牛顿法计算，构造迭代公式时，下列方程不可用的是（A）

（A）（B）（C）（D）由数据所确定的插值多项式是次数不大于（D）的多项式．

（A）二次（B）三次（C）四次（D）五次在牛顿—柯特斯公式中，当系数有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（B）时的牛顿—柯特斯公式不使用。

（A）（B）（C）（D）经过点的插值多项式（B）（A）（B）（C）（D）给定向量，则分别为（A）

（A）（B）（C）（D）精确值36.85用四舍五入保留三位有效数字的近似数为36.9。,那么=__4__．设是Legendre多项式，则时=0。设，求积公式是高斯型的，则此求积公式的截断误差为0。对于方程组，试证用G-S迭代求解此方程组收敛．证明：对于系数矩阵，因为：，即它具有对角优势，所以：G-S迭代收敛．用简单迭代法求在[1，2]上的根，若迭代函数分别取为和,问他们是否收敛？若收敛求误差不超过0.0001的近似根。解：迭代格式为在[1，2]上满足,因此迭代发散；而：，；又当时，，因此迭代格式收敛，取，则有、、、、、、。用最小二乘法求形如的经验公式,使它拟合下列数据：解：列表计算正规方程：正规方程：所以，经验公式：．用的复合梯形公式计算，并估计误差，其中约定在x=0的值为1。解：记，列表计算函数值：于是：已知：，求函数过这三点的二次插值多项式。解：．一、选择填空题当（D）时，线性方程组的迭代法一定收敛。

（A）（B）（C）（D）数据拟合的直线方程为,如果记、、、,那么常数所满足的方程是(B)

(A)(B)(C)(D)用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求（C）

（A）（B）（C）（D）如果对不超过m次的多项式，求积公式精确成立，则该求积公式具有（A）次代数精度。

（A）至少m（B）m（C）不足m（D）多于m求非线性方程的单根的牛顿迭代法具有（D）速度

（A）线性收敛（B）局部线性收敛（C）平方收敛（D）局部平方收敛三角分解式中，的值分别是（C）

（A）2，6（B）6，2（C）2，3（D）-1，2设是区间上权函数的正交多项式，则（A）

（A）（B）（C）（D）迭代法收敛的充分条件是（A）

（A）（B）（C）（D）设精确值x=256.356的近似值为256.36，此近似值有5位有效数字，其相对误差限为。A=,那么=___5__若复合梯形公式计算积分，要使截断误差不超过，积分区间至少应分成75等分。求解初值问题的梯形公式是2阶方法。二、设：，求单位下三角矩阵和上三角矩阵，使得：．解：，故：、．三、设有10到999之间整数的平方根表，已知,利用线性插值求的近似值．试求绝对误差限并估计有效数字的位数．（假设表上已给的函数值足够精确）解：设，则：，

其中：、，

故：

所以有三位有效数字．四、确定求积公式中的待定参数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其代数精度。解：分别对，得：

对于，，而。所以该求积公式具有2次代数精度。五、取步长h=0.2，用欧拉法求解初值问题．解：建立迭代公式：

由：，迭代计算得：．六、观察直线运动，得到以下数据：

求运动方程。解：作计算表格：编号123456求和00.91.933.9514.701030508011028000.813.61915.212553.6309571503125501078正规方程为：运动方程为：．一、填空题用选主元方法解方程组，是为了（B）

（A）提高运算速度（B）减少舍入误差（C）增加有效数字（D）方便计算若复合梯形公式计算定积分,要求绝对误差，试问（A）

（A）41（B）42（C）43（D）40已知函数的数据表，则的拉格朗日插值基函数（A）

（A）（B）

（C）（D）已知在处的函数值，那么（B）

（A）（B）（C）（D）求解初值问题的近似解的梯形公式是（A）

（A）（B）

（C）（D）对任意初始向量及常向量，迭代法收敛的充分必要条件是（C）。

（A）（B）（C）（D）为使两点数值求积公式具有最高阶代数精度，则求积结点应为（D）

（A）任意（B）（C）（D）下列求积公式中用到外推技术的是（C）

（A）梯形公式（B）复合梯形公式（C）龙贝格公式（D）高斯型公式用二分法求在区间[1，3]内的近似根，要求精确到10-3，至少要二分17次。迭代格式收敛于，此迭代收敛的阶数为2。A=,那么=_6_____．要使求积公式具有2次代数精度，则，。二、用主元素消去法解线性方程组：．解：增广矩阵

．

三、给出f(x)=cosx.x[0,]的一张等距步长分布的函数表，并按线性插值计算任何x[0,]cosx的值。问步长取多大才能保证其截断误差绝对不超过x10？．解：对，必有某个使，令，

则：，

又

．四、确定求积公式中的待定参数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其代数精度。分别对，得：

，

而且该求积公式具有3次代数精度。五、取步长h=0.2，用梯形法求解初值问题，小数点后至少保留5位。建立梯形公式：

由，迭代计算得：

．六、设有数据如下，试求形如：的经验公式；-0.4-0.200.20.40.7745970.89442711.0954451.183216解：列表计算：-0.40.7745970.16-0.30984-0.20.8944270.04-0.1788901000.21.0954450.040.2190890.41.1832160.160.47328604.9476850.40.203651法方程：所以经验方程为：。一、选择填空题已知n对观测数据。这n个点的拟合直线，是使（D）最小的解。

（A）（B）

（C）（D）．若复合辛普生公式计算定积分,要求绝对误差不超过，试问（B）

（A）1（B）2（C）3（D）4设是在区间上的的分段线性插值函数，以下条件中不是必须满足的条件是（C）

（A）在上连续（B）

（C）在上可导（D）在各子区间上是线性函数二分法求在内的根，二分次数n（B）

（A）只与根的所在区间以及误差限有关（B）只与函数有关

（C）与根的所在区间、误差限及函数有关（D）只与误差限有关改进的欧拉公式的校正值是

（A）（B）（C）（D）若线性方程组的系数矩阵A严格对角占优，则雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法（A）

（A）都收敛（B）雅可比迭代法收敛而高斯—赛德尔迭代法发散

（C）都发散（D）雅可比迭代法发散而高斯—赛德尔迭代法收敛。设是精确值的近似值，则称为近似值的（D）（A）相对误差（B）相对误差限（C）绝对误差限（D）绝对误差当为奇数时，牛顿—柯特斯求积公式的代数精度至少为（B）

（A）（B）（C）（D）要使局部收敛到，的取值范围是。=，那么=___19___A=,那么=__6____5个节点的高斯—勒让德求积公式的代数精度为9。二、用三角分解方法解方程组=．解：

．三、求多项式使：，，．解：可设：，

则：

于是：，

所以：，

从而：．四、确定求积公式中的待定参数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其代数精度。解：由于时，参数不出现，所以令，则有：

或。

而且所得到的求积公式具有2次代数精度。取步长h=0.1,用改进欧拉法求解初值问题，解：建立改进欧拉的迭代公式：

；

迭代计算如下：0.10.005500.20.021930.30.050150.40.090940.50.14500六、用最小二乘原理求一个形如的经验公式，使与数据123460302015相拟合解：令：，计算表：1234和123410603020151254.0943453.4011972.9957322.7080513.1993214916304.0943456.8023958.98719710.832230.71614正规方程：

，经验方程：一、选择填空题用列主元消去法解方程组第一次消元，选择主元（C）

（A）3（B）4（C）-4（D）-9用二分法求方程在区间内的根，若误差限，则二分次数n应使(C).

(A)(B)(C)（D）用最小二乘法求数据的拟合直线，拟合直线的两个参数使得（B）为最小，其中。

（A）（B）（C）（D）对于方程，改写为，建立迭代公式求根，取初值，则（C）

（A）1(B)1.25(C)1.5(D)2四阶经典龙格—库塔法的计算公式是（B）

（A）（B）

（C）（D）可逆矩阵A的条件数（B）

（A）（B）（C）（D）下面（D）不是数值计算应注意的问题

（A）注意简化计算步骤，减少运算次数（B）要避免相近两数相减

（C）要防止大数吃掉小数（D）要使误差消失下列说法错误的是（A）

（A）非奇异矩阵必有LU分解（B）正定矩阵必有LU分解

（C）如果对称矩阵的各阶顺序主子式不等于零，则必有LU分解

（D）非奇异矩阵未必有LU分解。求方程的根的牛顿迭代格式为．=，那么=__12____．已知方程组=,那么此方程组的Jacobi迭代法的迭代公式

为．求积公式的代数精度为2。二、用Jacobi方法解方程组，取，迭代四次．解：因为严格对角占优，所以雅可比迭代收敛。

建立雅可比迭代格式：，

取：，迭代计算如下：

所以：三、求一个四次插值多项式，使时,,而时，,,.解：设

则：

于是：

所以：．四、证明求积公式具有3次代数精度，其中。证明：当时，左边，右边

当时，左边，右边

当时，左边，

右边

当时，左边，

右边

当时，左边，而右边

所以该求积公式具有3阶代数精度.五、用Euler方法求如下初值问题的数值解：解：建立Euler公式：

，，

计算如下表：001110.11.10.9181