空间向量及其运算的坐标表示（含2课时）【知识精讲+拓展提升】 高二数学 （人教A版2019选择性必修第一册）

选修一《第一章

空间向量与立体几何》

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系类比学习：平面与空间直角坐标系平面向量与平面直角坐标系

空间向量与空间直角坐标系

xyzijkO新知1：空间直角坐标系

Oxy平面Oyz平面Oxz平面

②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.它们把空间分成8个部分.新知1：空间直角坐标系

新知2.1：空间点和向量的坐标

向量终点的坐标A(x,y,z)向量的坐标OA=(x,y,z)一一对应362A(6,3,2)

新知2.2：空间中的特殊点和对称点点的位置x轴上y轴上z轴上xOy平面xOz平面yOz平面点的坐标(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)已知点A(x,y,z)，则：①点A关于x轴对称的点为A1___________;②点A关于y轴对称的点为A2___________;③点A关于z轴对称的点为A3___________.④点A关于原点对称的点为A4___________.⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5__________;⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6__________;⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7__________.(x

,y

,-z)(-x,y

,z)(x,-y,z)(x

,-y,-z)(-x,-y,z)(-x,y

,-z)(-x,-y,-z)规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。新知2.3：空间中点的射影P18-练习2.在空间直角坐标系Oxyz中,(1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直；(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；

在Oyz平面内的射影坐标为____________

在Oxz平面内的射影坐标为____________

在Oxy平面内的射影坐标为____________(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.OyzOxzOxy(0,3,4)(2,0,4)(2,3,0)(-1,-3,-5)点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.(1,0,0)规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.新知2.4：求空间向量的坐标

析：(1)D'(0,0,2)C(0,4,0)A'(3,0,2)B'(3,4,2)

(法1)利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标的向量表示出来，从而确定该向量的坐标。选修一《第一章

空间向量与立体几何》

1.3.2空间向量运算的坐标表示

向量运算向量表示坐标表示加法减法数乘数量积(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3新知3：空间向量运算的坐标表示证明见课本P19新知3：空间向量运算的坐标表示

【巩固】空间向量的坐标运算

【巩固】空间向量的坐标运算

(法1)(法2)【巩固】空间向量的坐标运算【练习6】在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)和到点B(1,-3,1)的距离相等.新知4：空间两点的中点公式[练习7]点P(1,3,5)关于点M(2,﹣1,﹣4)的对称点的坐标是__________.(3,-5,-13)【巩固运用】求线段中点的坐标【练习8】如图，四棱锥D­OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标．(改：BM=2MD)ABCODMzxy【练习9】如图，正四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，建立适当的空间直角坐标系，并求PD的中点M的坐标．BACDPxyzOM新知4：向量坐标法在立体几何中的应用P20-例2.如图所示，在正方体ABCD

–A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.ADCBA1D1C1B1EF建系点的坐标向量的坐标向量的坐标运算几何关系翻译新知4：向量坐标法在立体几何中的应用P21-例3.

如图所示，在棱长为1的正方体ABCD

–A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上，

(1)求AM的长.

(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.ADCBA1D1C1B1E1F1M新知4：向量坐标法在立体几何中的应用

ADCBA1D1C1B1E1F1M【变式】课本P22第4、5题利用空间向量的坐标运算求夹角或距离的一