2022-2023学年湖南省邵阳市杨桥镇杨塘中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市杨桥镇杨塘中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由?＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．【解答】解：设直线方程为y=（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（﹣，），=（，），由题意可得?＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．2.已知集合则

（

）A．B．C．D．参考答案：B3.若函数满足，且时，，函数，则函数－g(x)在区间内的零点的个数为 A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C因为函数满足，所以函数是周期为2的周期函数，又因为时，，所以作出函数的图像：由图知：函数－g(x)在区间内的零点的个数为8个。4.已知关于x的方程的两根分别为，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.下列说法不正确的是（

） A．“”的否定是“” B．命题“若x>0且y>0，则x+y>0”的否命题是假命题 C．满足x1<1<x2”和“函数在[1，2]上单调递增”同时为真 D．△ABC中，A是最大角，则<sin2A是△ABC为钝角三角形的充要条件参考答案：C略6.若，则f(x)的定义域为

(

)A.

B.

C.∪

D.参考答案：C略7.一个盛满水的密闭三棱锥容器S－ABC，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的()A.

B.

C.

D.参考答案：D8.如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A.

B.

C.

D.参考答案：D9.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：A10.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（

）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,满足约束条件,若的最小值为,则_______参考答案：略12.对于☉A：x2+y2-2x=0，以点（，）为中点的弦所在的直线方程是___________。参考答案：y=x13.设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为

．参考答案：由题意，圆的圆心在圆上运动，当变化时，该圆在绕着原点转动，集合表示的区域如下图所示的环形区域，直线恰好与环形的小圆相切，所以所以表示的是直线截圆所得弦长，又原点到直线的距离为，所以弦长为．

14.已知，的取值如右表所示：若与线性相关，且，则_________参考答案：2.615.

；参考答案：答案：16.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n=

．参考答案：63

17.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是

▲

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙与⊙相交于两点，是⊙的直径，过点作⊙的切线交⊙于点，并与的延长线交于点，点分别与⊙、⊙交于两点证明：（1）；（2）．参考答案：证明：（1）因为分别是⊙割线，所以①又分别是⊙的切线和割线，所以②由①②得

………5分（2）连接，设与相交于点，因为是⊙的直径，所以，所以是⊙的切线，由（1）得，所以，所以

………10分19.设函数f（x）=aex﹣xlnx，其中a∈R，e是自然对数的底数．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若a≥，证明：f（x）＞0．参考答案：【分析】（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函数等价于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得，令（x＞0），求导得，令，，由此能求出a的取值范围．（Ⅱ）f（x）＞0?．令F（x）=（x＞0），当时，F（x）的最小值大于0．由此利用导数性质能证明当时，总有f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函数等价于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得，令（x＞0）．以下只需求g（x）的最大值．求导得，令，，h（x）是（0，+∞）上的减函数，又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零点，当x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减；故当x=1时，g（x）取得极大值且为最大值，所以，即a的取值范围是．证明：（Ⅱ）f（x）＞0?．令F（x）=（x＞0），以下证明当时，F（x）的最小值大于0．求导得=．①当0＜x≤1时，F'（x）＜0，F（x）≥F（1）=ae＞0；②当x＞1时，，令，则G'（x）=ex，又=，取m∈（1，2）且使，即，则＜e2﹣e2=0，因为G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零点x0∈（1，2），即F（x）有唯一的极值点且为极小值点x0∈（1，2），又，且，即，故，因为，故F（x0）是（1，2）上的减函数．所以F（x0）＞F（2）=1﹣ln2＞0，所以F（x）＞0．综上，当时，总有f（x）＞0．【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．20.已知函数，（其中常数）（Ⅰ）当时，求的极大值；（Ⅱ）试讨论在区间上的单调性；（Ⅲ）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线在点、处的切线互相平行，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，

…

…

…

…

…

1分当，时，；当时，

∴在和上单调递减，在单调递减

…

3分故

…

…

…

…

…

……

4分（Ⅱ）5分①当时，则，故时，；时，此时在上单调递减，在单调递增；

…

…

…

6分②当时，则，故，有恒成立，此时在上单调递减；

…

…

…

…

…

…

7分③当时，则，故时，；时，此时在上单调递减，在单调递增；

…

…

…

8分（Ⅲ）由题意，可得（，且）即

…

…

9分∵，由不等式性质可得恒成立，又∴对恒成立

11分令，则对恒成立∴在上单调递增，∴

…

12分故

…

…

…

…

…

……

…

13分从而“对恒成立”等价于“”∴的取值范围为

…

…

…

…

…

…

…

14分21.（本小题满分12分）设、是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为．（Ⅰ）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）记Tn为数列的前n项和，若对一切

都成立，试求a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）证：，∴P是P1P2的中点

（Ⅱ）解：由(1)知，，，相加得

(n-1个1)

（Ⅲ）

，当且仅当n=4时，取“=”，因此，22.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位，已知圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρ=，点P在l上．（1）过P向圆C引切线，切点为F，求|PF|的最小值；（2）射线OP交圆C于R，点Q在OP上，且满足|OP|2=|OQ|?|OR|，求Q点轨迹的极坐标方程．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由同角的平方关系可得圆C的普通方程，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，可得直线的普通方程，由勾股定理和点到直线的距离公式，可得切线长的最小值；（2）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），代入圆C的极坐标方程和直线的极坐标方程，由同角公式和二倍角的正弦公式，计算即可得到所求轨迹方程．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数），可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，即有ρsinθ+ρcosθ=4，即直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．由|PO|2=|PF|2+|OF|2，由P到圆心O（0，0）的距离d最小时，|PF|取得最小值．由点到直线的距离公式可