2022-2023学年湖北省十堰市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年湖北省十堰市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数z=3+iA.1 B.75 C.65 2.已知向量a=(1,3λ)A.1 B.−1 C.3 D.3.端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还要给孩子们佩戴香囊.某商家销售的香囊有四种不同的形状，其中圆形的香囊有36个，方形的香囊有18个，桃形的香囊有27个，石榴形的香囊有9个.现该商家利用分层随机抽样的方法在这些香囊中抽出20个香囊摆放在展台上，则抽出的桃形香囊的个数为(

)A.2 B.4 C.6 D.84.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，C′B′⊥x′轴，C′D′//A.5

B.522

C.105.将函数f(x)=3cos(6xA.3sin(2x+2π6.已知一个底面半径为2，高为23的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为(

)A.73π3 B.14π37.已知m>32，在钝角△ABC中，AB=3mA.(32,6) B.(28.武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF=30°，∠QFE=45°，由点M测得点N的仰角为15°，NF−ME=200米，由点N测得点A.684米 B.732米 C.746米 D.750米二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z=(2+A.z−=1+2i B.|z|10.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则(

)

A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30,60)内的学生人数占70%

B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60,80]内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多

C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在[50,6011.已知函数f(x)=AsiA.φ=−π6

B.ω=4

C.f(x)的图象关于直线

12.上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体ABCD−A1B1C1D1，设矩形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，若O1O2A.这个六面体是棱台 B.该六面体的外接球体积是288π

C.直线AC与A1C1异面 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：tan22.5°114.已知非零向量a,b的夹角为π6,|a|=2315.已知O为△ABC的外心，且AO=λAB+(1−λ)A16.如图，在平面四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=π2,BD=BC

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知cos(π4−α)=35,sin(518.(本小题12.0分)

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin219.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P−ABC中，已知PA=PB=AC=BC=4,PC=42，且∠APB=60°，E，F20.(本小题12.0分)

为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)，[9.5,10.5]分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9．21.(本小题12.0分)

如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

(1)证明：平面PDF⊥平面P22.(本小题12.0分)

已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，且满足g(x)=f(x)⋅f(x+π2)．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z=3+i2+i=(3+i)(2−2.【答案】A

【解析】解：因为a=(1,3λ),b=(2,7−λ)，3.【答案】C

【解析】解：圆形的香囊有36个，方形的香囊有18个，桃形的香囊有27个，石榴形的香囊有9个，

现该商家利用分层随机抽样的方法在这些香囊中抽出20个香囊摆放在展台上，

则抽出的桃形香囊的个数为20×2736+18+27+9=4.【答案】D

【解析】解：根据题意，直观图中，C′B′⊥x′轴，C′D′//y′轴，C′B′=1，A′B5.【答案】A

【解析】解：将函数f(x)=3cos(6x−π3)的图象上所有的点都向左平移π12个单位长度，

得到曲线y=3cos[6.【答案】A

【解析】解：∵圆锥的底面半径为2，高为23，

∴可得的圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为3，

故该圆台的体积V=13(π+47.【答案】B

【解析】解：因为m>32，

所以BC−AC=5m−(m+6)=4m−6>0，

所以5m>m+6，即BC>AC，

又5m>3m>0，即BC>AB，

所以A最大，

8.【答案】C

【解析】解：若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF=30°，∠QFE=45°，

由点M测得点N的仰角为15°，NF−ME=200米，由点N测得点P的仰角为α且tanα=2，

如图，过M作MC⊥NF交NF于C，过N作ND⊥PQ交PQ于D，

如图所示，因为NF−ME=200，所以NC=200，

又∠NMC=15°，则MC=200tan15∘，tan15°=tan(60°−45°9.【答案】BC【解析】解：z=(2+i)i=2i+i2=−1+2i，

则z−=−1−2i，|z10.【答案】AB【解析】解：A选项，由图1可知，2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30,60)内的学生人数频率为20%+25%+25%=70%，A正确；

B选项，设2022届初三学生人数为a(a>0)，由图1可知，2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60,80]内的学生人数为0.2a，

2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60,80]内的学生人数为a×(1+10%)×41%=0.451a，0.451a11.【答案】AC【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=3，f(0)=3sinφ=−32，解得sinφ=−12，

因为|φ|<π2，所以φ=−π6，选项A正确；

因为f(π48)=3sin(π48ω−π6)=0，所以π48ω12.【答案】BC【解析】解：对于A，因为A1B1AB=810=45，A1D1AD=427=27，A1B1AB≠A1D1AD，

所以四条侧棱的延长线不能交于一点，这个六面体不是棱台，选项A错误．

对于B，由题意知，这个六面体的外接球球心O在直线O1O2上，且O1A=42，O2A1=25，

因为O1A2+O1O2=O2A12+(O1O2−O1O)2，即32+O1O2=20+(6−O13.【答案】12【解析】解：tan22.5°1−tan222.5°=114.【答案】24

2【解析】解：因为a⊥(2a−b)，所以a⋅(2a−b)=0，

即2a2−a⋅b=0，又|a|=23，

则a⋅b=2a2=2×15.【答案】[1【解析】解：因为AO=λAB+(1−λ)AC，所以CO=λCB，

又因为O为△ABC的外心，所以△ABC为直角三角形且AB⊥AC，O为斜边BC的中点，

过A作BC的垂线AQ，垂足为Q.因为BA在BC上的投影向量为BQ=μBC，所以OQ=BQ−BO=μBC−12BC16.【答案】(8【解析】解：在平面四边形中设∠CBD=θ(0<θ<π2),∠ABD=π2−θ，

即在Rt△ADB中，∠BAD=θ,AD=4tanθ．

在△BCD中，CD=2BCsinθ2=8sinθ2.设△BCD外接圆圆心为M，外接圆半径为r，

由正弦定理可得2r=CDsinθ=8sinθ22sinθ2cosθ2=4cosθ2,r=2cosθ2．

设三棱锥A−BCD外接球球心为O，则OM⊥平面BC17.【答案】解：(1)∵cos(π4−α)=35，∴cosπ4cosα+sinπ4sinα=35，

22cosα+22sinα=35，

∴c【解析】(1)利用两角差的余弦公式可得cosα+s18.【答案】解：(1)因为sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B=1，

所以sin2A+sinAsinC+sin2C=sin2B，

由正弦定理可知，a2+ac+c2【解析】(1)根据题意可得a2+ac+c2=b2，再由余弦定理可得19.【答案】(1)证明：取BC的中点Q，连接NQ，MQ，

因为M，Q分别为PB，BC的中点，所以MQ//PC，

因为E，F分别为AP，AC的中点，所以EF/​/PC，所以MQ//EF，

MQ⊄平面EBF，EF⊂平面EBF，所以MQ/​/平面EBF，

因为N，Q分别为FC，BC的中点，所以NQ//FB，

NQ⊄平面EBF，FB⊂平面EBF，所以NQ/​/平面EBF，

【解析】(1)根据题干证出面面平行，再根据两个平面平行，则一个平面的任意一条直线都与另一个平面平行的性质证出线面平行．

(2)结合余弦定理，即可求出异面直线PC与20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[7.5,8.5)内的家庭的频率为0.3，

则在这500个家庭中月均用水量在[7.5,8.5)内的家庭有500×0.3=150户．

(2)由频率分布直方图，可得0.05+b+a+0.30+0.20+0.08=1，

则a+b=0.37【解析】(1)求得月均用水量在[7.5,8.5)内的频率，根据频数公式求解即可；

(2)根据频率分布直方图的性质和月均用水量的第27百分位数为21.【答案】(1)证明：根据题意可得PF⊥PD，

因为PF⊥BF，BF/​/AD，所以PF⊥AD．

PD∩AD=D，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以PF⊥平面PDE，因为PF⊂平面PDF，

所以平面PDF⊥平面PDE．

(2)解：设CF=x，CD=y，则x2+y2=12，DE=x【解析】(1)利用线线垂直可证PF⊥平面PDE，进而可证平面PDF⊥平面PDE．

(2)设22.【答案】解：(1)由题意，f(x)=|sinx|−cosx，

f(x+π2)=|sin(x+π2)|−cos(x+π2)=|cosx|+sinx，

所以g(x)=f(x)⋅f(x+π2)=(|sinx|−cosx)(|cosx|+sinx)=|sinxcosx|+|sinx|sinx−|cosx|cosx−sinxcosx，

当x∈[0,π2]时，sinx≥0，cosx≥0，

g(x)=sin2x−cos2x=−cos2x，

因为x∈[0,π2]，所以2x∈[0,π]，

由余弦函数的性质可知g(x)在[0,π