2023年内蒙古包头市、锡林郭勒盟中考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年内蒙古包头市、锡林郭勒盟中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各式计算结果为a5的是(

)A.(a3)2 B.a10÷2.关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为(

)A.3 B.2 C.1 D.03.定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a2−|b|，则(−2)⊗(−1)的运算结果为A.−5 B.−3 C.5 D.34.如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB.若∠1=32°，则∠2的度数为(

)A.32°

B.58°

C.74°

D.75°5.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是(

)

A. B. C. D.6.从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n.若点A的坐标记作(m,n)，则点A在双曲线y=6x上的概率是(

)A.13 B.12 C.237.如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为(

)

A.34 B.43 C.358.在平面直角坐标系中，将正比例函数y=−2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为(

)A.y=−2x+3 B.y=−2x+6 C.y=−2x−3 D.y=−2x−69.如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为(

)A.8

B.4

C.3.5

D.310.如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0)，A(23,0)，B(3,1)，△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与A′B交于点C.A.23

B.332

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若a，b为两个连续整数，且a<3<b，则a+b=______12.若x1，x2是一元二次方程x2−2x−8=0的两个实数根，则x113.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______．

14.已知二次函数y=−ax2+2ax+3(a>0)，若点P(m,3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为______15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′.连接BB′，交AC于点D，则ADDC的值为______．

16.如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F.下列结论：①CF平分∠ACD；②AF=2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2=AD⋅EF.其中正确的结论是______.(

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题4.0分)

先化简，再求值：(a+2b)2+(a+2b)(a−2b)其中a=−1，b=18.(本小题4.0分)

解方程：3x−1=5+3x19.(本小题8.0分)

在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一.如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；

(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点(写出一条即可)，并提出一条增加月销量的合理化建议．20.(本小题8.0分)

为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．

(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；

(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)21.(本小题11.0分)

随着科技的发展，扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位：元)，y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为一折线)．

(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；

(2)设该产品2022年第x个月的销售数量为m(单位：万台)，m与x的关系可以用m=110x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？(销售收入=每台的销售价格×销售数量22.(本小题12.0分)

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．

(1)求证：∠ADC−∠BAC=90°；(请用两种证法解答)

(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．23.(本小题12.0分)

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．

(1)如图1，连接QA.当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；

(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，

①求证：AE=2EP；

②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．24.(本小题13.0分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+3x+1交y轴于点A，直线y=−13x+2交抛物线于B，C两点(点B在点C的左侧)，交y轴于点D，交x轴于点E．

(1)求点D，E，C的坐标；

(2)F是线段OE上一点(OF<EF)，连接AF，DF，CF，且AF2+EF2=21．

①求证：△DFC是直角三角形；

②∠DFC的平分线FK交线段DC

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵(a3)2=a6≠a5，

∴选项A不符合题意；

∵a10÷a2=a8≠a5，

∴选项B不符合题意；

∵a4⋅a=a5，

∴选项C符合题意；

∵(−1)−1a52.【答案】B

【解析】解：移项，可得：x≤m+1，

根据图示，不等式的解集是x≤3，

∴m+1=3，

解得m=2．

故选：B．

首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式x−1≤m的解集，然后根据不等式的解集是x≤3，求出m的值即可．

此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

3.【答案】D

【解析】解：由题意可得：

(−2)⊗(−1)

=(−2)2−|−1|

=4−1

=3．

故选：D．

直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．4.【答案】C

【解析】解：∵CA=CB，

∴△ABC是等腰三角形，

∴∠CBA=∠CAB=(180°−32°)÷2=74°，

∵a//b，

∴∠2=∠CBA=74°．

故选：C．

由CA=CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．

本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．

5.【答案】B

【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图有3列，每一列都有3个正方形，即．

故选：B．

根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可．

本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．熟知视图方法是解题的关键．

6.【答案】A

【解析】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，并且它们出现的可能性相等，

点A坐标在双曲线y=6x上有2种情况：(2,3)，(3,2)，

所以，这个事件的概率为

P=26=13．

故选：A．

先求出点A的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线y=6x

上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案．

本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A7.【答案】D

【解析】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，

∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，

设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+l，其中a>0，

由勾股定理得：a2+(a+1)2=52，

解得：a=3，

∴a+1=4，

∴cosα=45．

故选：D．

首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为8.【答案】B

【解析】解：正比例函数y=−2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为y=−2(x−3)=−2x+6．

故选：B．

根据一次函数图象平移的规律解答即可．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．

9.【答案】B

【解析】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，

∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，

∴DE=12AC,DF=12BC,EF=12AB，

∴DE+DF+EF=12(AB+BC+AC)=12×21=10.5，

∵DE+DF=6.5，

∴EF=10.5−6.5=4，

故选：10.【答案】A

【解析】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，

∵O(0,0)，A(23,0)，B(3,1)，

∴BD=1，OD=3，

∴AD=OD=3，tan∠BOA=BDOD=33，

∴OB=AB=OD2+BD2=2，∠BOA=∠BAO=30°，

∴∠OBD=∠ABD=60°，∠OBA=120°，

∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称，

∴∠OBA′=120°，

∴∠OBA′+∠OBD=180°，

∴点A′、B、D共线，

∴A′B=AB=2，

∵A′C=BC，

∴BC=1，CD=2，

∴点C(3,2)，11.【答案】3

【解析】解：∵1<3<4，

∴1<3<2，

∴a=1，b=2，

则a+b=1+2=3，

故答案为：3．

先估算3在哪两个连续整数之间求得a，b的值，然后将其代入a+b12.【答案】−1【解析】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=−8，

则x1+x2x1x2=2−8=−14．13.【答案】π

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=CO，BO=DO，AD=CD，∠DBE=45°，

∴△AOD≌△COB(SSS)，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴BD=22+22=22，

∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(22)2360=π，14.【答案】2

【解析】解：∵点P(m,3)在二次函数y=−ax2+2ax+3(a>0)的图象上，

∴3=−am2+2am+3，

∴−am(m−2)=0，

解得m=2或m=0(舍去)，

故答案为：2．

15.【答案】5

【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F，

，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，AB=32+12=10，

∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，AB=AB′=10，∠BAB′=90°，

∴△ABB′是等腰直角三角形，

∴∠ABB′=45°

∵DF⊥AB，∠DFB=45°，

∴△DFB是等腰直角三角形，

∴DF=BF，

S△DBA=12×BC×AD=12×DF×AB，即AD=10DF，

∵∠C=∠AFD=90°，∠CAB=∠FAD，

∴△AFD∽△ACB，

∴DFBC=AFAC，

即AF=3DF，

又∵AF=10−DF，

∴DF=104，

∴AD=10×104=52，

∴CD=3−52=12，

16.【答案】①③④

【解析】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，

∴AB=BC=CD=DE=EA，

∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=EAB=(5−2)×180°5=108°，

在△ABC中，∠ABC=108°，AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=180°−108°2=36°，

同理可得，∠DCE=∠DEC=∠EAD=∠EDA=36°，

∴∠ACE=∠BCD−∠BCA−∠DCE=108°−36°−36°=36°，

∴∠ACE=∠DCE，

即CF平分∠ACD，

故①正确；

②∵∠ACE=∠DEC=36°，∠AFC=∠DFE，

∴AFDF=ACDE，

∵ACDE=ACAB≠2，

∴AFDF≠2，

即AF≠2DF，

故②错误；

③∵∠BAC=∠ACE=36°，

∴AB//FC，

∵∠EAB=108°，∠EAD=36°，

∴∠DAB=∠EAB−∠EAD=108°−36°=72°，

∵∠ABC=108°，

∴∠ABC+∠DAB=108°+72°=180°，

∴AF//BC，

∴四边形ABCF是平行四边形，

又∵AB=BC，

∴四边形ABCF是菱形，

故③正确；

④∵∠DEF=∠DAE=36°，∠EDF=∠ADE，

∴△DEF∽△DAE，

∴DEAD=EFAE，

∵DE=AE=AB17.【答案】解：原式=a2+4b2+4ab+a2−4b2

=2a2+4ab，

当a=−1【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．

此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．

18.【答案】解：原方程两边同乘(x−1)，去分母得：3=5(x−1)−3x，

去括号得：3=5x−5−3x，

移项，合并同类项得：−2x=−8，

系数化为1得：x=4，

检验：将x=4代入(x−1)中得4−1=3≠0，

则原分式方程的解为：x=4．

【解析】按照解分式方程的步骤解方程即可．

本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．

19.【答案】解：(1)x−=15.9+16.9+19.2+21.8+23.0+23.56=20.05(万辆)，

答：该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆；

(2)2022年下半年月销量的特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过20万辆，中位数为20.5【解析】(1)估计平均数的定义求解即可；

(2)利用条形统计图的数据阐述即可．

本题考查了平均数以及中位数等统计知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想方法解答．

20.【答案】解：(1)由题意得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，

∴∠CAB=180°−∠NAC−∠BAS=75°，

∵∠ABC=45°，

∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=60°，

∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；

(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB=32km，∠ABC=45°，

∴AD=AB⋅sin45°=32×22=3(km)，

BD=AB⋅cos45°=32×22=3(km)，

在【解析】(1)根据题意可得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；

(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

21.【答案】解：(1)当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，

∵图象过A(1,2850)，B(10,1500)两点，

∴k+b=285010k+b=1500，

解得k=−150b=3000，

∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=−150x+3000；

(2)设销售收入为w万元，

①当1≤x≤10时，w=(−150x+30000(110x+1)=−15(x−5)2+3375,

∵−15<0，

∴当x=5时，w最大=3375 (万元)；

②当10<x≤12时，w=1500(110x+1)=150x+1500，

∴w随x的增大而增大，

∴当x=12时，w【解析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)根据销售收入=每台的销售价格×销售数量，可求得销售收入w(万元)与销售月份x之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．

本题考查一次函数、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：方法一：如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ADC−∠BDC=∠ADB，∠BDC=∠BAC，

∴∠ADC−∠BAC=90°；

方法二：如图，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠PBC=∠BAC+∠ACB，

∴∠PBC−∠BAC=90°，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∵∠PBC+∠ABC=180°，

∴∠ADC=∠PBC，

∴∠ADC−∠BAC=90°；

(2)解：由图可得∠ADC=∠PBC，

∵ACP=∠ADC，

∴∠PBC=∠ACP，即∠PBC=∠PCA，

∵∠BPC=∠CPA，

∴△PBC∽△PCA，

∴PBPC=PCPA，

∴PC2=PA⋅PB，

∵⊙O的半径为3，

∴AB=6，

∴PA=PB+6，

∵CP=4，

∴42=(PB+6)⋅PB，【解析】(1)方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；

方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB=90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；

(2)根据方法二中的图形易证得△PBC∽△PCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长．

本题考查圆与相似三角形的综合应用，(2)中结合已知条件证得△PBC∽△PCA是解题的关键．

23.【答案】(1)解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．

理由：连接QC.∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，

∴BD⊥AC，OA=OC，

∴QA=QC，

∵QA=QP，

∴QC=QP，

∴点Q在线段PC的垂直平分线上；

(2)①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∵BD⊥AC，∴∠ADO=∠CDO，

∴∠ABD=∠CBD=∠ADO．

∵∠BAP=∠ADB，

∴∠BAP=∠ABD=∠CBD．

∴AE=BE，∠APB=90°，∠BAP+∠ABP=90°，∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°

在Rt△BPE中，∠EPB=90°，∠PBE=30°，

∴EP=12BE，

∵AE=BE，

∴EP=12AE，

∴AE=2EP；

②如图，连接QC．

∵AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形．∠APB=90°，

∴BP=CP，EP=a，

∴AE=2a，AP=3a，

在Rt△APB中，∠APB=90°，

∵tan∠ABP=APBP=33，

∴BP=3a，

∴CP=BP=3a，

∵AO=CO，∠AOE=∠COQ，OE=OQ，

△AOE≌△COQ(SAS)，

∴AE=CQ=2a，∠EAO=∠QCO，

∴AE//CQ，

∵∠APB=90°，【解析】(1)根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；

(2)①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得出∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；

②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．

题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

24.【答案】(1)解：∵直线y=−13x+2交y轴于点D，交x轴于点E，

当x=0时，y=2，

∴D