2022-2023学年福建省龙岩市连城重点中学联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省龙岩市连城重点中学联考高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.函数f(x)=2xA.2 B.6 C.12 D.482.设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BA.1 B.2 C.3 D.43.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E为棱A1C1的中点.A.12a+b+12c

4.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，∠BA.(0,1,0)

B.(

5.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(xA.31000 B.3100 C.306.已知直线x=a与函数f(x)=x+1，g(A.12−ln2 B.1−7.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的且径，SO=AB=4，AC=DC，D为OSA.43

B.53

C.1

8.如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为(

)

A.15 B.16 C.623 D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知向量a=(m,2mA.若a//b，则m=2 B.若a⊥b，则m=−210.已知定义在区间(a,b)上的函数f(x)的导函数为A.f(x)在(x4,b)上单调递增

B.曲线y=f(x)11.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制干子员牙体的系描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则(

)A.GE=22

B.点C的坐标为(−2,2,22)

C.O，12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=lnx+ax.若存在等差数列x1，x2，xA.32e B.ln(1+三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点M(−1,−1,−2)，N(14.已知函数f(x)=ex−ax15.如图，在墙角有一根长1米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0s时，木棒的端点A以0.1m/s的速度竖直向下匀速运动，端点B向右沿直线运动，则端点B在t

16.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，O是BE

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=A18.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2x3−3x2+1．

(119.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，PD=4520.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ax−2lnx+2．

(1)若21.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，且AC=AB1．

(1)证明：22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax(a∈R)答案和解析1.【答案】C

【解析】解：根据平均变化率的计算公式，可得函数f(x)=2x2+1在区间[1,5]的平均变化率为：

2.【答案】C

【解析】解：由题意，若A，C，D三点共线，

则AC=μCD，

∵AB=e1+e2+e3，BC=e1+λ3.【答案】A

【解析】解：∵E为棱A1C1的中点，

∴BE=BB1+B1E=BB1+12B4.【答案】B

【解析】解：根据题意，设BD=AB=CD=1，则D(0,1,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)，

则DC=(1,0,0)，AD=(0,1,−1)，

设平面5.【答案】D

【解析】解：因为f(x)=3lnx，所以f′(x)=3x，f″(x)=−3x2，

所以f6.【答案】D

【解析】解：设h(x)=f(x)−g(x)=x+1−ln(2x+1)(x>−12)，

则h′(x)=1−22x+17.【答案】B

【解析】解：∵SO=AB=4，D为OS的中点，

∴OA=OD，又AC=DC，OC=OC，

∴△COD≌△COA，∴∠COA=∠COD=90°，

∴OC⊥OA，

以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，C(0,2,0)，S(0,0,4)8.【答案】D

【解析】解：设正四棱锥的高为h，(0<h<3)，底面积为S，所以S=2×(9−h2)，

所以几何体的体积V=13Sh+S⋅1=2×(9−h2)(13h+1)，

设f(h)=9.【答案】AB【解析】解：∵向量a=(m,2m,2)，b=(2m−5,−m,−1)，

∴a⊥b时，有m(2m10.【答案】AB【解析】解：根据定义在区间(a,b)上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象，

对于A中，当x∈(x4,b)时，f′(x)≥0，且仅当x=x6时，f′(x)=0，

所以f(x)在(x4,b)上单调递增，所以A正确；

对于B中，当x=x6时，可得f′(x6)=0，

所以曲线y=f(x)在x=x6处的切线的斜率为0，所以B正确；

对于C中，因为f(x)在(11.【答案】BC【解析】解：由题意正方形ABCD的对角线BD=22，则G(2,2,22)，E(0,2,32)，

∴GE=(2−0)2+(2−2)2+(22−32)2=6，故A错误；

∵GA=12×42=22，∴C(−2,2,22)，故B正确；

对于C，A12.【答案】AB【解析】解：因为x1+x4=x2+x3=0，2x3=x2+x4，所以x4=3x3，

因为f(x1)，f(x2)，f(x3)，f(x4)成等比数列，

所以f(x4)f(x3)=f(x3)f(x2)=−1，

则f(x3)+f(x4)=0，即f(x3)+f(3x3)=0(x3>13.【答案】(3,3,【解析】解：根据题意，点M(−1,−1,−2)，N(2,2,1)都在直线l上，且MN=(14.【答案】(−【解析】解：由题意得f′(x)=ex−a，

要使得函数f(x)在R上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立，

即a≤ex或a≥ex在R上恒成立，

当a≤ex在R15.【答案】3【解析】解：设点B运动的路程为S，运动了时间t，

则S2+(1−0.1t)2=12，化简得S=1−(1−0.1t)16.【答案】5【解析】解：取BB1的中点N，AA1的中点M，连接MN，MO，

∵O是BE的中点，∴ON//B1E，

∵BE⊂平面A1B1C1D1，ON⊄平面A1B1C1D1，

∴ON//平面A1B1C1D1，

又易证MN//A1B1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，MN⊄平面A1B1C1D1，

∴MN//平面A1B1C1D1，又M17.【答案】解：∵AA1=AB=2AD=2CD=4，

∴AA1=AB=4，AD=CD=2，

建立空间直角坐标系如图：

则A(0,0,0)，A1(0【解析】(1)建立坐标系求出点的坐标，利用向量长度公式进行计算即可．

(2)18.【答案】解：(1)f′(x)=6x2−6x，

所以f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=0，

又f(1)=0，

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−f(1)=f′(1)(x−【解析】(1)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得f(x)在(1,f(1)19.【答案】解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，D(0,0,0)，C(0,4,0)，B(2,4,0)，E(1,0,255)，

则PB=(2,4,−455)，DP=(0,0,455)，CP=(−2,−4,455)【解析】(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，可求平面DEF的一个法向量，求得直线CG的方向向量，利用向量法可证CG//平面DEF20.【答案】解：(1)f(x)=ax−2lnx+2，可

则函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

故f′(x)=a−2x=ax−2x，

因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f(1)=a−2−0，解得a=2，

当a=2时，可得f′(x)=2(x−1)x，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当【解析】(1)根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，即可求解；

(2)f′21.【答案】解：(1)证明：取CB1中点O，

因为侧面BB1C1C为菱形，

所以BC=BB1，

所以BO⊥CB1，

又因为AC=AB1，

所以AO⊥CB1，

又AO∩BO=O，

所以CB1⊥面AOB，

又AB⊂面AOB，

所以AB⊥CB1．

(2)设AB=BC=1，

因为∠CBB1=π3，BC=BB1，

所以△CBB1为等边三角形，

所以B1C=1，

因为O为CB1的中点，

所以CO=12，BO=BC2−CO2=32，

又AC⊥AB1，AC=AB1，O为CB1的中点，

所以AO=12，

在△AOB中，AO2+BO2=(12)2+(32)2=1=AB2【解析】(1)由BO⊥B1C、AO⊥B1C证B1C⊥平面AOB，再证B1C⊥AB即可；

(2)设AB=BC=1，根据题意可得22.【答案】解：(1)f′(x)=ax+a+1x+1=1x+1+a，

当a≥0时，f′(