2022-2023学年河南省开封市五县高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年河南省开封市五县高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z满足z(1+i)=A.1 B.−2 C.−2i2.下列命题正确的是(

)A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面3.已知向量a=(1,x)，b=A.−2或2 B.−2 C.2 4.如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(

)

A.①④ B.②④ C.③④5.已知复数z满足：z+iz=iA.12 B.1 C.226.某车间生产一种圆锥型高脚杯，杯口直径为2R，高为R，将该高脚杯装满水(水面与杯口齐平)，现将一直径为2r的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入(整个铁球在水面以下)水中并静止后，从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的18，则rA.13 B.1332 C.17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c=a+b，C=A.3−1 B.3 C.8.已知正四面棱锥P−ABCD的侧棱长为23，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从A.26

B.23

C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是(

)A.圆柱的侧面展开图是矩形

B.球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面

C.直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台

D.10.下列关于复数的说法，其中正确的是(

)A.复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0

B.复数z=a+bi(11.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1：2，则关于上、下两部分空间图形的说法正确的是(

)A.侧面积之比为1：2 B.侧面积之比为1：8

C.体积之比为1：27 D.体积之比为1：2612.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断△AA.acosA=bcos三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数9+2i2+14.如图，正方形O′A′B′C′的边长为

15.曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针旋转角α(α>0)时，P和Q之间的距离是xcm，若OA=316.已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若|e1+四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C118.(本小题12.0分)

已知复数z=2+mi(m∈R,i为虚数单位)，且(1−i)z为纯虚数．

(19.(本小题12.0分)

一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．

(1)20.(本小题12.0分)

已知向量a，b不共线，AP=a−tb，BP=−a+2b，BQ=3a−2b．

(1)21.(本小题12.0分)

2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/22.(本小题12.0分)

已知四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成，如图所示，∠BAD=∠B=π3，

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z=3−i1+i=(3−i)(1−2.【答案】D

【解析】解：由平面的公理2及推论可知：不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确；

直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确；

四边形可以为空间四边形，故C不正确；

两条相交直线可以确定一个平面，故D正确．

故选D．

不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确；直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确；四边形可能为空间四边形，故C不正确；两条相交直线可以确定一个平面，故D正确．

本题为命题真假的判断，正确理解并应用平面的公理是解决问题的关键，属基础题．

3.【答案】A

【解析】解：∵a=(1,x)，b=(x,4)，且a/​/b，

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查异面直线的判断，属于基础题．

根据题意，依次分析4种情况下直线GH，M【解答】解：在①中，MG/​/HN且MG=NH，则四边形MGHN是平行四边形，有HG//MN，不是异面直线；

在②中，直线GH，MN既不平行也不相交，是异面直线；

在③中，GM//

5.【答案】C

【解析】解：因为z+iz=i，则z(1+i)=i，

即z=i1+6.【答案】B

【解析】解：由已知可得，圆锥型高脚杯的体积V=13πR2⋅R=13πR3，

小铁球的体积V=43πr37.【答案】C

【解析】解：因为△ABC的面积为32，C=π6，

所以12absinπ6=32，

所以ab=6，

又c2=a2+8.【答案】D

【解析】解：用空间思维将此正四棱锥的侧面展开，得到一个由四个全等的顶角为30°的等腰三角形组成的图形，

所求的路径，是一个以23a为腰长，120°为顶角的三角形的底边，

由余弦定理可得最短路程等于12+12−2⋅23⋅29.【答案】AB【解析】解：对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，故A正确；

对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，故B正确；

对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，故C错误；

对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，故D正确．

综上，正确答案为ABD．

故选：ABD．

对于A，由圆柱的侧面展开图判断；对于B，由球面定义判断；对于C，由圆台定义判断；对于10.【答案】AC【解析】解：对于选项A：复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0，所以选项A正确；

对于选项B：复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，所以选项B错误；

对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1=a+bi(a∈R,b11.【答案】BD【解析】解：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1：2，

所以，上部分为小棱锥，下部分为棱台，小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1：3，高之比为1：3，

所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1：9，体积之比为1：27，

即小棱锥与棱台的侧面积之比为1：8，体积之比为1：26．

故选：BD．

利用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分的高、底面边长对应比值相等，上下底面面积之比等于对应高的平方比，进行判断求解．

本题考查了棱锥、棱台的侧面积与体积的比例关系，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：对于A，由于acosA=bcosB，整理得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B，由AB⋅BC=−accosB=213.【答案】4−【解析】解：∵9+2i2+i=(14.【答案】2【解析】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′//x′轴，

所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，

点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，

则OB=2O′B′=2115.【答案】2π3(【解析】解：∵由题意，AP=OQ−OA=10−3=7(cm)，OP=OQ−x=5(cm)，

∴在△AOP中，由余弦定理，得cosα=cos∠A16.【答案】[π【解析】解：∵e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若|e1+te2|≥12(t∈R)，

∴|e17.【答案】证明：(1)∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，

∴EF//B1D1//BD，

∴D，B，E，F四点共面．

(2)在正方体AC1中，连接PQ，

∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，

∴Q∈平面BDE【解析】(1)推导出EF//B1D1//BD，由此能证明D，B，E，F四点共面．

(2)连接PQ，推导出P、Q18.【答案】解：(1)z=2+mi，则(1−i)z=(1−i)(2+mi)=2+m+(m−2)【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解；

(2)19.【答案】解：(1)圆锥的母线长为62+22=210(cm)，

∴圆锥的侧面积S1=π×2×210=410

π(cm2).【解析】(1)求出母线长，然后求解侧面积；

(2)设圆柱的底面半径为r

cm，求出r=20.【答案】解：(1)∵t=−2，AP=xBP+yBQ，

∴a+2b=x(−a+2b)+y(3a−2b)=(3【解析】(1)由平面向量基本定理建立方程组即可求；

(2)21.【答案】解：(1)在△ABC中，

∵cosA=1213,cosC=35，

∴sinA=513,sinC=45，

则sinB=sin[π−(A+【解析】(1)利用cosA=1213,cosC=35，可得si22.【答案】解