2022-2023学年安徽省合肥重点中学高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年安徽省合肥重点中学高一（下）第二次月考数学试卷1.下列命题中成立的是(

)A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C.一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥

D.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体2.已知复数z满足(1−3i)A.−12−12i B.−3.《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积(单位：平方丈)为(

)A.51+π24π B.4.在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为aA.25a−45b B.25.在△ABC中，已知sinAA.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形6.一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：

①直线AF与直线BQ是异面直线；

②直线BE与直线MN是异面直线；

③直线BQ与直线

A.4 B.3 C.2 D.17.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔．现在在塔底共线三点A，B，C处分别测塔顶的仰角为30°，45°，60°，且AB=A.20米 B.703米 C.803米 D.8.刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一(如图一).记正方形OABC的边长为r，设OP=h，过P点作平面PQRS平行于平面OABC.OS=OQ=r，由勾股定理有PS=PQ=r2A.S3r3 B.S3πr9.已知平面向量a=(1,0)A.|a+b|=16 B.(a+b)⋅a=10.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥n，n//α，则m⊥α B.若m//β，β⊥α，则m⊥α

C.11.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且AC=3AD，点E是BC边上任意一点(包含BA.−56 B.−16 C.12.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BCA.当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为55

B.无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1

C.当点P运动到BC113.如图，△A′B′C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点G，H分别在棱B115.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是

．16.已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=17.已知复数z是方程x2+6x+13=0的一个复数根，且z的虚部大于零．

(1)求z；

18.已知O(0,0)，向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+3asinB=c+b．

20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．

(1)证明：PC//21.如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．

(1)求船的航行速度是每小时多少千米？

(22.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD//BC，AB=AD=12BC=2，沿对角线BD将△ABD折至△

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：对A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，

所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误；

对B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，

则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；

对于C，如图所示，若AB=AC=CD=BD=4，BC=AD=3，

满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面BCD不是正三角形，故C错误；

2.【答案】B

【解析】解：由(1−3i)z=1+2i可得：3.【答案】B

【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，

则有2πr=2，2πR=3，

解得r=1π,R=32π，

又圆台的高为1丈，

所以圆台的母线长为l=12+4.【答案】B

【解析】解：过点F作BC的平行线交DE于G，

则G是DE的中点，

且GF=12EC=14BC

∴GF=14AD，

则△AHD∽△GHF

从而FH=14AH，

∴AH=455.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，sinA=2sin(A+C)cosC=2sinBcosC，

∵6.【答案】B

【解析】解：根据展开图，复原几何体，如下图所示：

对②，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，

所以FN//CD，又AB//CD，则FN//AB，故F，N，A，B四点共面，

故直线AF与直线BQ是共面直线，①错误；

对②，E在过F，N，A，B四点的平面外，

故直线BE与直线MN是异面直线，②正确；

对③，N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，③正确；

对④，E7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查余弦定理及解三角形的实际应用，属于中档题．

设塔顶为P，塔底为O，高度PO=h，由题意知，PA=2h，PB=2h，【解答】解：设塔顶为P，塔底为O，高度PO=h，

则PA=hsin30∘=2h,PB=2h,PC=hsin60∘=2

8.【答案】C

【解析】解：V正方体=r3，V棱锥=13Sh=13×r2×r=139.【答案】BD【解析】解：对于A选项，a+b=(2,23)，所以|a+b|=22+(23)2=4，故A选项错误；

对于B选项，a+b=(2,23)，则，(a+b)⋅a=2×110.【答案】D

【解析】【分析】本题考查空间中直线、平面间的位置关系，考查空间想象力，属于基础题．

由直线、平面的位置关系逐一判断即可得解．【解答】解：对A选项，由m⊥n，n//α可得m//α或m与α相交或m⊂α，故A选项错误；

对B选项，由m//β，β⊥α可得m//α或m与α相交或m⊂α，故B选项错误；

对C选项，若m⊥α，α⊥

11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．

根据条件，可设AE=λ【解答】解：如图，

∵点E是BC边上任意一点(包含B，C点)，

∴可设AE=λAB+(1−λ)AC，其中0≤λ≤1，

∴AE

12.【答案】AB【解析】【分析】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角，属于中档题．

构造线面角∠PA1E，由已知条件求出tan∠PA1E的值即可判断A；

利用线面垂直的判定与性质定理证明A1P⊥OB1，即可判断B【解答】解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1．

对于A，当点P运动到线段BC1的中点时，则点E为棱B1C1的中点，连接A1E、EP，如图所示，

因为点P、E分别为线段BC1、B1C1的中点，所以PE//BB1，且PE=12BB1，

因为BB1⊥平面A1B1C1，所以EP⊥平面A1B1C1，

所以直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值tan∠PA1E=EPA1E，

因为EP=12BB1，A1E=A1B12+B1E2=52BB1，所以tan∠PA1E=55，故A正确；

对于B，连接B1C交BC1于点E，连接A1B，如图所示，

因为四边形B1BCC1为正方形，所以BC1⊥B1C，

因为BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，

又A1B1

13.【答案】4

【解析】解：由直观图画出△ABC的原图形，如图所示：

由题意知，AD⊥BC，且AD=2A′D′=2×2=4，BC14.【答案】513【解析】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为3，

则D(0,0,0)，B(3,3,0)，G(1,3,3)，H(2,0,3)，

DH=(2,0,3)，B15.【答案】32【解析】【分析】本题考查正三棱柱的体积的运算，考查三棱柱的性质、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度．【解答】解：在图2中，水中部分是四棱柱，

四棱柱底面积为S=12×12×sin60°−12×12×12sin60°=3316

16.【答案】28π【解析】【分析】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

作出图形，由平面CAB与平面SAB垂直且CA=C【解答】解：由题可知，平面CAB⊥平面SAB，且C到AB的距离最大时，三棱锥S−ABC体积达到最大，如右图所示，

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

此时三角形CAB面积最大，S△ABC=12absinC=24ab，

即ab最大，

在三角形ABC中，a2+b2−c2=2abcosC，

a2+b2−4=2ab≥2ab−4，

ab≤4+22，当且仅当a=b，ab

17.【答案】解：(1)由x2+6x+13=(x+3)2+4=0，即(x+3)2=−4，

可得x+3=±2i，解得x【解析】(1)根据复数根的求解即可得x+3=±218.【答案】解：(1)设C(x,y)，则BC=OC−OB=(x−3,y+2)，且OA=(2,1)，

∵四边形OACB为平行四边形，

∴OA=BC，【解析】(1)设C(x,y)，然后得出BC=(x−3,y+2)，根据题意得出19.【答案】解：(1)∵acosB+3asinB=c+b，

由正弦定理得sinAcosB+3sinAsinB=sinC+sinB=sin(A+B)+【解析】(1)由正弦定理边化角，利用辅助角公式求解，即可得出答案；

(2)由点G是△AB20.【答案】(1)证明：∵E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．

所以EF//BP，GF//AD，又EF⊄平面PBC，BP⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，

又由ABCD为平行四边形，所以AD//BC，所以GF//BC，

GF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以GF//平面PBC，

又因为GF∩EF=F，GF，EF⊂平面EFG，所以平面FEG//平面EFG，

又PC⊂平面PBC，所以PC//平面EFG；

，

(2)解：取AC的中点H，连接FH，HE，所以EH//CB//AD，且EF=FG，

所以可得S△EFH=S△E【解析】(1)依题意可得EF//BP，GF//AD，即可得到EF//平面PBC，再由ABCD为平行四边形得到GF//BC，从而得到GF//平面PBC，即可得到平面FEG//平面EFG，可证结论；

(2)取AC的中点H，连接FH，HE，依题意可得S△21.【答案】解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=0.5，∴AB=APtan60°=32，

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=APtan30°=【解析】(1)先Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB22.【答案】(1)证明：当θ=90°时，平面A′BD⊥平面BCD．

在直角梯形ABCD中，B