2021年山东省青岛市莱西朴木中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年山东省青岛市莱西朴木中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（08年全国卷Ⅰ文）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】A本题主要考查了互为反函数间的关系及反函数的求法．，改写为．2.已知正数满足，则的最小值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.4.若则（

）A.

B．

C.

D．参考答案：C知识点：三角函数的恒等变换及化简求值解析：∵∴，,∴sin（），sin（）=∴cos[（）﹣（）]=cos（）cos（）+sin（）sin（）=,故选C【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（）和sin（）的值，进而利用cos[（）﹣（）]通过余弦的两角和公式求得答案．5.已知i为虚数单位，则复数=（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故选：B．6.函数

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C7.设命题p：实数x，y满足x2+y2＜4，命题q：实数x，y满足，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：作出不等式对应的区域如图：则不等式组对应的区域在圆x2+y2=4内部和外部都有点存在，故命题p是命题q的既不充分也不必要条件，故选：D8.已知向量，，若与共线.则等于（

）A．

B．

C．

D．4参考答案：A略9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10.已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺

寸（单位cm），可得这个几何体的体积是----_________．参考答案：略12.若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为

.参考答案：13.设函数，且，则当时，的导函数的极小值为__________.111]参考答案：2【方法点晴】本题主要考查的是导数的运算和函数的极值，属于难题.对求导之后的导函数还是分段函数，由于所以计算得的导函数为分段函数，故要考虑分段求的极值.考点：1、导数的运算；2、函数的极值．14.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为

.参考答案：M,

（1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M．（2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M．15.已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数=

.参考答案：6略16.若复数，则__________。参考答案：

略17.已知，，则cos2α＝

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.参考答案：解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理得AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E=,作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB--C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB--C的大小为arctan.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),

，，由得，即，于是①,所以.（2）设平面BCC1B1的法向量，则,即，因，故y=0，且（a-2）x+cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c=.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB--C的大小为arccos19.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ），令得，易知函数在上单调递增，而，所以函数在上的最小值为；（Ⅱ）由题意知，分离参数得，构造函数，不等式成立问题转化为求函数h（x）的最大值，易证函数先减后增，通过计算可知，所以，当时，的最大值为，故．试题解析：（Ⅰ）由，可得，

当时，单调递减；当时，单调递增．所以函数在上单调递增．

又，所以函数在上的最小值为．

（Ⅱ）由题意知，则．若存在使不等式成立，只需小于或等于的最大值．设，则．当时，单调递减；当时，单调递增．由，，，可得．所以，当时，的最大值为．故．考点：1.导数与单调性；2.导数与最值；3.不等式恒成立问题20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数，设函数．

（1）求证：函数必有零点

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：解：-----------------------------------2分

---------4分所以----------------------------------------------------------6分因为在[-1，0]是减函数，所以，解得；所以当，因为在[-1，0]是减函数，所以方程的两根均大于零或一根大于零，另一根小于零，且对称轴--------------------------------------------------------------------------8分所以

或

解得

所以综上所述，实数m的取值范围是；-------------------------------------10分----------------------------------------------------------12分---------------------------14分----------------------------------------------16分

--------------------18分

21.（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分别是AC，BC的中点，AB=，AC=2，PD=，Q为线段PE上不同于端点的一动点．(Ⅰ)求证：AC⊥DQ；(Ⅱ)若二面角B-AQ-E的大小为60°，求的值．参考答案：(Ⅰ)证明：∵PA=PB=PC，∴P在底面ABC的射影是△ABC的外心E，∴PE⊥面ABC，又ACì面ABC，从而PE⊥AC．……………… 3分又∵PA=PC，且D是AC的中点，∴PD⊥AC，∴AC⊥面PDE．又DQì面PDE，∴AC⊥DQ．………………… 6分 (Ⅱ)解法一: 过点B作BF⊥AE于F，易证BF⊥面PAE， 过F作FG⊥AQ于点G，连接BG， 则∠BGF即为二面角B-AQ-E的平面角．……

8分 在Rt△ABF中，由得． 在Rt△BGF中，由，所以． 在△AQF中，设，则， 由得,从而，…………

12分 又在Rt△PED中，，所以,从而．…… 14分 解法二：如图以A为原点，AB、AC分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 则，，，

…… 8分设点，设面的法向量m=(x1,y1,z1). 由得 令，得．…………… 10分 设面的法向量n=(x2,y2,z2)， 由得 令得．… 12分由，得，又