2022-2023学年浙江省绍兴市道墟中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省绍兴市道墟中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则=(

)A． B．C．

D．参考答案：C2.已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是(

)A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象参考答案：C【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简可得f（x）=sin（2x+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可．【解答】解：∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（x）的最小正周期为，A错误；由f（﹣）=sin0+1=1，B错误；由f（）=sin+1=1，C正确；f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2x+）+1，不为偶函数，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．3.已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为A．

B．

C．

D． 参考答案：B考点：独立事件与乘法公式第一次检测出的是次品的概率为第二次检测出的是正品的概率为

所以第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：

故答案为：B4.执行如右图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是

A．7

B．8

C．15

D．16参考答案：B略5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A6.已知，则下列结论错误的是 A. B. C. D.参考答案：C7.若，，且，则实数的值为

（

）

A.

B.

C.或

D.或参考答案：C略8.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为(

) A．，3 B． C．，2 D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答： 解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．9.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β参考答案：D10.将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是(

).A.左移个单位 B.右移个单位 C.左移π个单位 D.右移π个单位参考答案：C分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数.详解：由，令.解得.即对称中心为.只需将左移个单位可得一个奇函数的图像，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（

）A. B. C. D.参考答案：C由三视图可得，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为，因此。故选C。12.在等差数列中，，则数列的前项和

．参考答案：13.以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为

．参考答案：（x﹣1）2+y2=4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．解答： 解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x﹣1）2+y2=4．故答案为：（x﹣1）2+y2=4．点评：本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．14.若变量满足条件，则的最大值为___▲___．参考答案：15.已知函数,若函数有3个零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：(0,1)16.直三棱柱ABC—A1B1C1各顶点在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则球的表面积为___________.参考答案：略17.已知点是函数y=2x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sin1）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有成立．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12）在四棱锥P—ABCD中，已知PA垂直于菱形ABCD所在平面，M是CD的中点，，AB=PA=2a，AE⊥PD于PD上一点E。（1）求证：ME∥平面PBC；（2）当二面角M—PD—A的正切值为时，求AE与PO所成角。参考答案：（1）证明：

又PA=AD=2a，AE⊥PD为PD的中线，

又M为CD的中点AE∥PC

故ME∥平面PBC（2）过M作MH⊥AD于H，PA⊥平面ABCD

过H作HN⊥PD于N，连MN则MN在平面PAD内的射影为HN

故HN⊥PD

故

设，则MH=在Rt△ABC中NH=MH在Rt△HND中

即

故取OD的中点G，连AG，EC

故EG∥PO且EG=OP为异面直线AE与OP所成角

故AE与OP所成的角为（注：用向量法做略）19.已知，其中向量（x∈R），（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=2，a=，b=，求边长c的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，两角和的正弦函数公式可求函数解析式为f（x）=2sin（2x+），利用正弦函数的单调性即可得解．（2）由已知可得sin（2A+）=1，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由余弦定理即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）==sin2x+cos2x

…=2sin（2x+）…由，得．…∴f（x）的单调增区间为．…（2）f（A）=2sin（2A+）=2，∴sin（2A+）=1，…∵0＜A＜π，∴，∴2A+=，∴A=．…由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，7=3+c2﹣3c即c2﹣3c﹣4=0，…∴c=4或c=﹣1（不合题意，舍去），∴c=4．

…20.现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．（1）求p2的值；（2）证明：pn＞．参考答案：【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意知p2==，（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=，即可求出为pn，再根据二项式定理和放缩法即可证明．【解答】解：（1）由题意知p2==，即p2的值为．（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为=；去掉第n行已经排好的n个数，则余下的﹣n=个数中最大数在第n﹣1行的概率为=；…故pn=××…×==．

由于2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2＞Cn1+Cn2=Cn+12，故＞，即pn＞．21.（本小题满分12分）近年来,我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与有关.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.日均值越小，空气质量越好.为加强生态文明建设，我国国家环保部于2012年2月29日，发布了《环境空气质量标准》见下表：日均值k(微克)空气质量等级一级二级超标

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的日均值作为样本，样本数据茎叶图如右图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）求甲、乙两市日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好；（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率．参考答案：（Ⅰ）．因为，所以甲市的空气质量较好.

…4分（Ⅱ）.即恰有一天空气质量等级为一级的概率为.---------12分22.(本小题满分12分)

已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等