2021-2022学年福建省福州市格致中学鼓山校区高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年福建省福州市格致中学鼓山校区高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A. B.1C. D.参考答案：A2.设全集则下图中

阴影部分表示的集合为

A.

B.

C.

D.参考答案：A集合，图中阴影部分为集合，所以，选A.3.下列命题中真命题的个数是（1）“”的否定是“?x∈R，x2﹣2sinx＜5”；（2）“∠AOB为钝角”的充要条件是“”；（3）函数的图象的对称中心是．（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据含有量词命题的否定定义判定；（2）根据向量的夹角与数量积的关系判定；（3）由y=tanx的对称中心为（，0），k∈Z判定【解答】解：对于（1），“”的否定是“?x∈R，x2﹣2sinx＜5”，正确；对于（2），“∠AOB为钝角”的充要条件是“”且不共线，故错；对于（3），∵y=tanx的对称中心为（，0），k∈Z，∴由2x+=，k∈Z，得x=﹣，故错故选：B4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于

A、

B、

C、

D、参考答案：D10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟根据上述调查结果，下列结论错误的是（

）A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C．报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D．报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟参考答案：D6.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是参考答案：A7.设定义在上的函数的反函数为，且对于任意，都有，则（）A

B

C

D参考答案：答案：A8.已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|?|PB|的值为（）A．4 B．5C． D．与点P的位置有关参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣m2=1，即n2﹣4m2=4，由双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±2x，则由，解得交点A（，）；由，解得交点B（，）．=（，），=（，），则有|PA|?|PB|===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．9.已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则?等于（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，可得，∴，故选：B，10.设函数

其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用0.618法确定试点，则经过

次试验后，存优范围缩小为原来的倍.参考答案：512.命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是：

．参考答案：?x＞0，x2+x﹣2＜0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答： 解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“?x＞0，x2+x﹣2≥0”的否定是：?x＞0，x2+x﹣2＜0．故答案为：?x＞0，x2+x﹣2＜0．点评：本题考查特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．13.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是__

____．参考答案：(0,]14.在矩形中，.若分别在边上运动（包括端点）,且满足,则的取值范围是_________.

参考答案：15.下列4个命题：①“如果，则、互为相反数”的逆命题②“如果，则”的否命题③在中，“”是“”的充分不必要条件④“函数为奇函数”的充要条件是“”其中真命题的序号是_________参考答案：①②略16.不等式+2x＞0的解集为

{．参考答案：x|x＜﹣3或x＞1}【考点】二阶矩阵；其他不等式的解法．【专题】矩阵和变换．【分析】由二阶行列式的展开法则，把原不等式等价转化为x2+2x﹣3＞0，由此能求出不等式+2x＞0的解集．【解答】解：∵+2x＞0，∴x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式+2x＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞1}．【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．17.如图，是圆的切线，切点为，，是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径等于________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695566719

9810507175

1286735807

443952387933211234297864560782

5242074438

1551001342

9966027954（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）从第8行第7列的数开始向右读，利用随机数法能求出最先检查的3个人的编号．（2）①由题意得，由此能求出a，b的值．．②a+b=31，a≥11，b≥7，由此利用列举法能求出数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）从第8行第7列的数开始向右读，最先检查的3个人的编号分别为：785，667，199．（2）①，解得a=14，∴b=100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）=17．②a+b=100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4=31，∵a≥11，b≥7，∴基本事件（a，b）的总数n=14，分别为：（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，21），（21，10），（22，9（，（23，8），（24，7）．设a≥11，b≥7，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，a+5＜b．事件A包括：（11，20），（12，19），共2个基本事件，∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为P（A）=．19.选修4-1：几何证明选讲

如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD不经过点O，AC平分∠BAD，经过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，且CD2=AB·DF.

（1）△ABC～△CDF；

（2）EF是⊙O的切线.参考答案：略20.已知函数f（x）=x3+x2﹣ax（a∈R）．（1）当a=0时，求与直线x﹣y﹣10=0平行，且与曲线y=f（x）相切的直线的方程；（2）求函数g（x）=﹣alnx（x＞1）的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3，9]，使函数h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值，试求b的最大值．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数与函数切线斜率的关系，求得斜率，由点斜式写出切线方程；（2）利用导数判断函数的单调性求得函数的单调递增区间即可；（3）利用导数求函数的最值的方法，通过分类讨论得出b的最大值．解答：解：（1）设切点为T（x0，x03+x02），由f′（x）=3x2+2x及题意得3x02+2x0=1．

…（2分）解得x0=﹣1，或x0=．所以T（﹣1，0）或T（，）．所以切线方程为x﹣y+1=0或27x﹣27y﹣5=0．

…（4分）（2）因为g（x）=x2+x﹣a﹣alnx（x＞1），所以由g′（x）=2x+1﹣＞0，得2x2+x﹣a＞0．

…（6分）令φ（x）=2x2+x﹣a（x＞1），因为φ（x）在（1，+∞）递增，所以φ（x）＞φ（1）=3﹣a．当3﹣a≥0即a≤3时，g（x）的增区间为（1，+∞）；

…（8分）当3﹣a＜0即a＞3时，因为φ（1）=3﹣a＜0，所以φ（x）的一个零点小于1、另一个零点大于1．由φ（x）=0得零点x1=＜1，x2=＞1，从而φ（x）＞0（x＞1）的解集为（，+∞），即g（x）的增区间为（，+∞）．

…（10分）（3）方法一：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，h′（x）=3x2+8x+（2﹣a）．因为存在a∈[3，9]，令h′（x）=0，得x1=，x2=．当x＜x1或x＞x2时，h′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，h′（x）＜0．所以要使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值，必有解得a≥5，即a∈[5，9]．

…（13分）所以存在a∈[5，9]使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值的充要条件为h（﹣3）≥h（b），即存在a∈[5，9]使（b+3）a﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0成立．因为b+3＞0，所以9（b+3）﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0，即（b+3）（b2+b﹣10）≤0．解得≤b≤，所以b的最大值为．…（16分）方法二：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，据题意知，h（x）≤h（﹣3）在区间[﹣3，b]上恒成立．即（x3+27）+4（x2﹣9）+（2﹣a）（x+3）≤0，（x+3）（x2+x﹣1﹣a）≤0

①．若x=﹣3时，不等式①成立；若﹣3＜x≤b时，不等式①可化为x2+x﹣1﹣a≤0，即x2+x≤1+a

②．…（13分）令ψ（x）=x2+x．当﹣3＜b≤2时，ψ（x）在区间[﹣3，b]上的最大值为ψ（﹣3）=6，不等式②恒成立等价于6≤1+a，a≥5，符合题意；当b≥2时，ψ（x）的最大值为ψ（b）=b2+b，不等式②恒成立等价于b2+b≤1+a．由题意知这个关于a的不等式在区间[3，9]上有解．故b2+b≤（1+a）max，即b2+b≤10，b2+b﹣10≤0，解得2＜b≤．综上所述，b的最大值为，此时唯有a=9符合题意．…（16分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线方程、判断函数的单调性、求函数最值等知识，考查分类讨论思想的运用能力，综合性强，属难题．21.已知

（1）闭幕式用含a的式表示b；

（2）求的单调区间；

（3）的图象上是否存在不同两点，使有过点的切线？其中。若存在，求出A，B的坐标；否则，说明理由。参考答案：22.