2022-2023学年河北省保定市山坡中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年河北省保定市山坡中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S.在一次投掷中，已知S是奇数，则S=9的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B故选：B

2.已知是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞,0]上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C因为是定义在上的偶函数，图像关于y轴对称因为在区间上单调递增，所以在区间[上单调递减得到示意图如下根据函数对称性和单调性可知，满足的的取值范围是

3.已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：因为定义域为的偶函数，所以，对任意正实数满足，所以，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以在上单调递减，由不等式，所以或，解得或，故选C.考点：函数的奇偶性与单调性的应用；利用导数研究函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的奇偶性和利用导数判定函数的单调性，得出函数在上单调递增，所以在上单调递减，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.4.曲线x-y=0,，所围成的图形的面积是

（）

A．1

B．

C．9

D．参考答案：B5.设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=(

) A．﹣ B． C．2 D．﹣2参考答案：B考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）为偶函数，以及x＞0时f（x）的解析式即可得到f（﹣）=．解答： 解：f（x）为偶函数；∴f（）=f（）又x＞0时，f（x）=log2x；∴=；即f（﹣）=．故选B．点评：考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），以及对数的运算．6.已知平面向量，的夹角为，且，，则（

）A．3 B．9 C．12 D．15参考答案：D．7.关于的方程在内有且仅有5个根，设最大的根是，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．以上都不对参考答案：C由题意作出与在的图象，如图所示：∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，，则.∴，则.∴∴故选C.

8.设等差数列的前项和是.若(N*,且),则必定有 （）A．,且 B．,且C．,且 D．,且参考答案：A略9.已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是(

)A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，1）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．10.已知表示两条直线，表示两个平面，若

则（

）A.

B.

Ｃ.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知中，内角的对边的边长为，且,则的最小值为

▲

参考答案：12.在极坐标系中，两点，间的距离是

．参考答案：略13.已知，则

．参考答案：14.一圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为4的半圆，则圆锥的高等于

．参考答案：2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图，即对应扇形的弧长是底面圆的周长，结合题意列出方程，求出底面的半径．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则由题意得，2πR=π×4，即R=2，∴圆锥的高等于=2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥侧面展开图中弧长的等量关系，即由圆锥底面圆的圆周和展开图中弧长相等，列出方程进行求值．15.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为．参考答案：8π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意，SC的中点为球心，计算三棱锥S﹣ABC的外接球的半径，由此可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：由题意，SC的中点为球心，∵SA⊥平面ABC，SA=AC=2，∴SC=2，∴球的半径为，∴该四面体的外接球的表面积为4π?2=8π．故答案为：8π．16.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10，则输出的

.参考答案：4略17.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=_________.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）计算该样本的平均值，方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差.任取一个产品，记其质量指标值为.若，则认为该产品为一等品；，则认为该产品为二等品；若，则认为该产品为不合格品.已知设备A正常状态下每天生产这种产品1000个.（i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？（ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B.经测试，设备B正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B？参考数据：①；②；③，.参考答案：(1)；(2)（i）见解析（ii）见解析【分析】（1）根据频率分布直方图，用各组区间的中点值作代表可求得样本的平均值，方差。（2）根据（1）中求得的平均值，方差，可求得在范围内的频率，进而可判断出不合格品是否超过；或利用正太分布曲线，求后进行判断。跟题意，求得A设备与B设备的盈利均值，并根据每天多盈利额判断即可。【详解】（1）由频率分布直方图可得.（2）（i）方法一：由（1）得，由图可得质量指标值在和的频率为，所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过.方法二：由于.所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过.（ii）设，分别为设备，一天为工厂创造的利润，则，，所以采用新设备利润每天增加，因此，只需56天使用设备产生的利润就超过使用设备产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，正太分布曲线及原则的应用，理清各个量之间的关系最为关键，属于中档题。19.(本小题满分13分)已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线交轴于点，且.试判断的值是否为定值，若是求出定值，不是说明理由.参考答案：（Ⅰ）易知椭圆右焦点∴，抛物线的焦点坐标

………1分

……………3分椭圆的方程.

……………4分∵ ……………10分∴…………12分所以，当变化时，的值是定值，定值为.……………13分20.已知定点，，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明。参考答案：(1)设，得。(2)设代入得得当时,,,又得,PD的中点，圆M的半径.圆心M到时直线PF距离，当.综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。略21.若对任意有唯一确定的与之对应，称为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”：（1）非负性：，当且仅当时取等号；（2）对称性：；（3）三角形不等式：对任意的实数z均成立.今给出四个二元函数：①②③；④.能够成为关于的x、y的方义“距离”的函数的所有序号是___________.参考答案：略22.已知函数定义在区间，对任意，恒有成立，又数列满足（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得（II）求证：数列是等比数列，并求的表达式；（I