2021年河南省许昌市禹州褚河高级中学高三数学文联考试题含解析

2021年河南省许昌市禹州褚河高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设且满足，则最小值

（

）A．12

B．

C．3

D．参考答案：C略2.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3．故选C．3.已知，且为实数，则等于A．1

B．

C．

D．参考答案：答案：A4.已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（

）

参考答案：A此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选5.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值．【解答】解：由已知得到=（）（）=2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，所以上式==；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用，用到了向量垂直的数量积为0的性质．6.点满足，若目标函数

的最大值为1，则实数a的值是

A．-3

B．3

C．-1

D．1参考答案：D7.函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.参考答案：C略8.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（

）（A）

（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：D∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设，则，解得.9.在如右程序框图中，若，则输出的是（

）A.

B.C.

D.参考答案：C略10.已知a＞0且a≠1，则logab＞0是（a﹣1）（b﹣1）＞0的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＞0且a≠1，则logab＞0?，或．（a﹣1）（b﹣1）＞0?，或．即可判断出结论．【解答】解：a＞0且a≠1，则logab＞0?，或．（a﹣1）（b﹣1）＞0?，或．故选：A．【点评】本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列的通项公式为，则

．参考答案：12.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.参考答案：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。13.中，，为中点，，则面积的最大值为

．参考答案：14.平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若，则3x+2y的最大值为．参考答案：2【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据，得出=1，利用基本不等式得出3x+2y的最大值．【解答】解：∵，∴==9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣）=（3x+2y）2﹣3?3x?2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2=×（3x+2y）2；又=1，即×（3x+2y）2≤1，所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，即x=，y=时，3x+2y取得最大值2．故答案为：2．15.设正项等比数列的前项和为,且,则数列的公比为_________.参考答案：略16.将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项

;第项

.参考答案：;17.已知曲线平行，则

。参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：（1）求图中的值.（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.参考答案：略19.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证：//平面；

（2）求证：；

参考答案：解析：（1）连接，已知、分别为、的中点．EF是三角形BD1D的中位线，\EF//BD1；…(4分)又，，\EF//面BD1C1…(6分)（2）连接、BC1，正方体中，D1C1^面BCC1B1，BC1ì面BCC1B1，所以D1C1^B1C……5分在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1^B1C，D1C1、BC1ì面BC1D1，所以B1C^面BC1D1…(6分)BD1ì面BC1D1，所以有B1C^BD1，…(7分)在（1）已证：EF//BD1，所以EF^B1C．………8分20.已知函数（1）讨论f(x)的单调性；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：参考答案：（1）时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）证明见解析【分析】（1）对求导，得到，根据的，对进行分类，分为，和；（2）令，先说明当时，不符合题意，再研究当时，利用导数得到最大值，根据有两个零点，得到，易得，再利用导数证明时，，从而确定范围为，再构造函数，利用导数得到在上单调递减，从而得以证明.【详解】（1）易知的定义域为，且，时，在上恒正，所以在上单调递增，时，对于，①当，即时，，在上是增函数；②当，即时，有两个正根，所以，，单调递增，，，单调递减综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）令，方程有两个不相等的实根函数有两个零点，由定义域为且①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；②当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得此时易知当时，，令，所以，时，在为增函数，在增函数，，所以，即所以函数在与各存在一个零点综上所述，.∴证明证明时，成立设，则易知在上递减，，在上单调递减，所以.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的极值、最值，函数与方程，零点存在定理，属于难题.21.（本小题12分）已知函数（1）

讨论函数的单调区间；（2）

设，当时，若对任意的（为自然对数的底数），都有，求实数的取值范围。参考答案：略22.北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．

非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．附：，其中n=a+b+c+d．P（x2≥k0）0.050.010k03.746.63参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求在抽取的100人中“围棋迷”有25人，填写2×2列联表，计算观测值，比较临界值即可得出结论；（2）由频率分布直方图计算频率，将频率视为概率，得出X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望与方差．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：

非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得；因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别