2021年辽宁省沈阳市新时代私立高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2021年辽宁省沈阳市新时代私立高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域为的偶函数的部分图象如图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C2.（5分）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（） A． f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3） B． f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） C． f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） D． f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）参考答案：D考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．解答： ∵f（x）是偶函数且当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，∴f（π）＞f（3）＞f（2），即f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2），故选：D．点评： 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．3.若集合

A

B

C

D

参考答案：C4.若α，β为锐角，，则=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sin（+α）和sin（+），整体代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：α，β为锐角，，∴sin（+α）==，sin（+）==，∴=cos[（+α）﹣（+）]=cos（+α）cos（+）+sin（+α）sin（+）=+=．故选：D．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．5.圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5参考答案：D【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心坐标与半径，找出圆心C关于直线y=x的对称点坐标，即为对称圆心坐标，半径不变，写出对称后圆的标准方程即可．【解答】解：圆C方程变形得：（x+2）2+y2=5，∴圆心C（﹣2，0），半径r=，则圆心C关于直线l：y=x对称点坐标为（0，﹣2），则圆C关于直线l对称圆的方程为x2+（y+2）2=5．故选D．6.如图，设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意可得：，结合文氏图可得图中阴影部分表示的集合为：.本题选择D选项.

7.已知函数，且，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.若且，则的终边在(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C9.在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数 B．平均数 C．中位数 D．标准差参考答案：D【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．【解答】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2==4，标准差S=2，B样本方差S2==4，标准差S=2，D正确故选D．10.一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为(

).A．1 B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知,，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．参考答案：30试题分析：∵a-b=4，a+c=2b，∴a=c+8，b=c+4∴a为最大边∵最大角为120°，∴（c+8）2=c2+（c+4）2-2c（c+4）cos120°∴c2-2c-24=0∴c=6或-4（负值舍去）∴a=c+8=14，b="1"0，所以三角形周长为30.考点：本题主要考查余弦定理的应用。点评：题中明确了a，b，c的关系，故从中确定出最大边，便于应用余弦定理．12.已知f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+ax，若f（﹣1）=2，则a=；f（2）的值是．参考答案：1;6.【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）为偶函数，便可得到f（1）=1+a=2，从而求出a=1，从而得到x＞0时的f（x）解析式，从而得出f（2）的值．【解答】解：f（x）为偶函数；∴f（1）=f（﹣1）=2；∴1+a=2；∴a=1；∴x＞0时，f（x）=x2+x；∴f（2）=6．故答案为：1，6．【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数求值．13.若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则实数a等于

．参考答案：3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3）即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a所以a=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.已知向量，且，则的坐标是

．参考答案：略15.已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，0）【考点】函数单调性的性质．【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得1﹣2a＞1，且a＜0，由此求得a的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）=是R上的增函数，∴1﹣2a＞1，且a＜0，求得a＜0，故答案为：（﹣∞，0）．16.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图。则甲、乙两人该赛季比赛得分的中位数之和为__________.参考答案：64略17.函数的单调递增期间是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1=AC=CB=2，，求异面直线AB1与CD所成角的大小．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC1交A1C于O，连结DO，则DO∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）连结AB1，取BB1中点M，连结DM、CM，则DM∥AB1，从而∠CDM就是所求异面直线所成角（或补角），由此能求出异面直线AB1与CD所成角的大小．【解答】证明：（1）连结AC1交A1C于O，连结DO，∴DO为△ABC1的中位线，DO∥BC1，又BC1?面A1DC，DO?面A1DC，故BC1∥平面A1CD．解：（2）连结AB1，取BB1中点M，连结DM、CM，则DM是△ABB1的中位线，∴DM∥AB1，∴∠CDM就是所求异面直线所成角（或补角），∵AA1=AC=CB=2，，∴CM=，DM=，CD=，∴DM2+CD2=CM2，满足勾股定理，∴∠CDM=90°，故异面直线AB1与CD所成角为90°．19.已知函数，若对于数列{an}满足：an+1=4f（an）﹣an﹣1+4（n∈N*，n≥2），且a1=﹣1，a2=2．（1）求证：数列{an﹣an﹣1}（n∈N*，n≥2）为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由已知及an+1=4f（an）﹣an﹣1+4，可得（an+1﹣an）﹣（an﹣an﹣1）=2（n≥2），求出a2﹣a1=3，可得数列{an+1﹣an}是一个以3为首项，以2为公差的等差数列；再由等差数列的通项公式可得an+1﹣an=2n+1，然后利用累加法求得数列{an}的通项公式；（2）把（1）中求得的通项公式代入，然后利用错位相减法求Sn．【解答】（1）证明：由题意，，即（an+1﹣an）﹣（an﹣an﹣1）=2（n≥2），∵a1=﹣1，a2=2，∴a2﹣a1=3，∴数列{an+1﹣an}是一个以3为首项，以2为公差的等差数列；则an+1﹣an=3+2（n﹣1）=2n+1，则a2﹣a1=2×1+1，a3﹣a2=2×2+1，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）+1（n≥2）．累加得．验证n=1时上式成立，∴；（2）解：，则，，两式作差得：．∴．20.（12分）已知点P（﹣2，3t﹣），Q（0，2t），（t∈R，t≠0）（1）当t=2时，求圆心在坐标原点且与直线PQ相切的圆的标准方程．（2）是否存在圆心在x轴上的定圆M，对于任意的非零实数t，直线PQ恒与定圆M相切，如果存在，求出圆M的标准方程，如果不存在，请说明理由．参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题： 直线与圆．分析： （1）根据t=2可以求得点P、Q的坐标，则易求直线PQ的方程，然后根据点到直线的距离和直线与圆的位置关系求得该圆的半径，据此来写圆的标准方程；（2）利用反证法进行证明．设圆M的方程为（x﹣x0）2+y2=r2（r＞0），直线PQ方程为：（t2﹣1）x+2ty﹣4t2=0．由直线与圆的位置关系、点到直线的距离可以求得圆M的圆心和半径，所以易求得该圆的标准方程．解答： （1）当t=2时，直线PQ的方程为3x+4y﹣16=0，圆心（0，0）到直线的距离为，即r=．所以，圆的标准方程为：x2+y2=；（2）假设存在圆心在x轴上的定圆M与直线PQ相切．设圆M的方程为（x﹣x0）2+y2=r2（r＞0），直线PQ方程为：（t2﹣1）x+2ty﹣4t2=0．因为直线PQ和圆相切，则=r，整理得：（t2﹣1）x0﹣4t2=r+rt2①或（t2﹣1）x0﹣4t2=﹣r﹣rt2②．由①可得（x0﹣r﹣4）t2﹣x0﹣r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，则有，可解得．所以存在与直线PQ相切的定圆M，方程为：（x﹣2）2+y2=4．点评： 本题考查了圆的标准方程，直线和圆的方程的应用．解题时需要掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线方程的求法．21.（本小题满分12分）在如图所示四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方式，PA=AB=1，E是PD上的点，PB//平面AEC，（I）确定点E的位置并证明AEPC（II）求三棱锥P-AEC的体积。参考答案：22.（12分）（2014?浙江模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．参考答案：【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所