2022年贵州省遵义市贵阳铁路分局铁中高三数学理月考试题含解析

2022年贵州省遵义市贵阳铁路分局铁中高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）参考答案：C考点：正切函数的单调性；三角函数线．专题：计算题．分析：通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．解答：解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣）＞0，∴0＜α﹣＜π，∴＜α＜．故选C．点评：本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题．2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当最小时，（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，，取，得，，，平面的法向量，0，，平面与平面所成（锐二面角为，，解得，当|最小时，，，，．故选：．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.设a、b是不同的直线，是不同的平面，给出下列命题：①若

②若③

④其中真命题的个数是(A)0

(B)1

(C)2

(D)3参考答案：B略4.已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=1，那么三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．2π B．4π C．6π D．5π参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=，可得球的半径R，即可求出三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为的等边三角形，SA垂直于底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=故球的半径R==故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=5π．故选：D．5.将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣ B．x=﹣ C．x= D．x=参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故最后所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=kπ，即x=，k∈z，结合所给的选项可得只有B满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．6.已知函数，将的图象向右平移个单位，得到的图象，下列关于函数的性质说法正确的是（

）A.的图象关于对称 B.的图象关于点对称C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增参考答案：D【分析】通过平移规则得到函数,再逐一对每个选项进行判断得到答案.【详解】由题意知，令，得，即在区间上单调递增.故选D.【点睛】本题考察了三角函数的平移,对称和单调性等性质,属于中档题型.7.设直线与直线A的交点为A；P，Q分别为上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（

）A.2 B.－2 C.3 D.－3参考答案：A根据题意画出图形，如图所示；

直线与直线的交点为；为的中点，

若，则

即解得．

故选A．8.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M，若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则=(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：D9.已知是定义在上的偶函数，且以为周期，则是的.充分不必要条件

.必要不充分条件

.充要条件

.既不充分也不必要参考答案：C略10.面向量与的夹角为，,，则A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，，，，，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，，，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为

．参考答案：12.若二次函数满足，且，则实数的取值范围是__________。参考答案：；13.若则＝________________.参考答案：14.已知角的终边经过点，则

；参考答案：15.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若，则的值是_____.参考答案：

【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.16.已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数的最大值是______．参考答案：设，，．由题意知，，，即，，解得：或（舍），代入得：，，，当时，；当时，．实数的最大值是．故答案为．17.在直角坐标平面xoy中，过定点（0,1）的直线L与圆交于A、B两点，若动点P(x，y)满足，则点P的轨迹方程为_____________________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在三棱锥中，

(1)求证：平面⊥平面(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.

参考答案：解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC

由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面

4分（2）

以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),

5分∴设平面PBC的法向量，由得方程组，取

7分∴

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。

9分（2）由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为∵又因为∴

取

10分∴

∴

12分∴B点到AM的最小值为垂直距离。

14分19.(本小题满分12分）现有三种基本电子模块，电流能通过的概率都是P，电流能否通过各模块相互独立.已知中至少有一个能通过电流的概率为0.999.现由该电子模块组装成某预警系统M(如图所示），针对系统M而言，只要有电流通过该系统就能正常工作.(1)求P值(II)求预警系统M正常工作的概率参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，解得.

…………

5分（Ⅱ）设模块能正常工作为事件，电流能否通过各模块相互独立，所以预警系统M正常工作的概率.答：预警系统M正常工作的概率为0.891.…………

12分略20.已知函数f(x)=sinωx·cosωx﹣+cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，角A是锐角，f（A）=0，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由，又角A是锐角，可求A的值，利用余弦定理可求bc=1，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）=，…∴T==π，从而可求ω=1，…∴f（x）=sin（2x+）…由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），可得：，所以f（x）的单调递增区间为：．…（Ⅱ）∵f（A）=0，∴，又角A是锐角，∴，∴，即．…又a=1，b+c=2，所以a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣3bc，∴1=4﹣3bc，∴bc=1．…∴．…21.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上求一点（不与两点重合），使得∥平面，并求出的长．参考答案：（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．………5分

则，，，，所以，，．因为平面，所以为平面的一个法向量．……6分设平面的法向量为， 由，得令，则，，

所以是平面的一个法向量．

………8分所以因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．9分（2